课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.272 - p.311

这一节视频内容还是容易理解的，与之对应的课本上第6章内容就不友好了。。我仔细看了两遍也还是只有定性认知，尤其对于后面一阶二阶系统的分析所充斥的数学推导就放弃了，更称不上一知半解了。这篇笔记且写且看。

1. 傅里叶变换的模-相表示

一般来说，傅里叶变换是复数的，那么可以用模和相位表示，
$X(j \omega) = \vert X(j \omega) \vert e^{j \sphericalangle H(j \omega)}$

对于离散时间信号的傅里叶变换模-相表示也是类似的。

2. LTI系统频率响应的模-相表示

根据LTI系统傅里叶变换的卷积性质，
$Y(j \omega) = H(j \omega) X(j \omega)$

因此，一个LTI系统对输入的作用就是改变输入信号中每个频率分量的复振幅，利用模-相表示，可以写出，
$\vert Y(j \omega) \vert = \vert H(j \omega) \vert \vert X(j \omega) \vert$

$\sphericalangle Y(j \omega) = \sphericalangle H(j \omega) + \sphericalangle X(j \omega)$

$\vert H(j \omega) \vert$ 一般称为系统的增益， $\sphericalangle H(j \omega)$ 一般称为系统的相移。

2.1 线性与非线性相位

考虑频率响应为 $H(j \omega) = e^{-j \omega t_0}$ 的连续时间LTI系统，具有线性相位，也就是说系统频率响应的相位特性是 $\omega$ 的线性函数，斜率为固定值，即
$\sphericalangle H(j \omega) = - \omega t_0$

具有这种频率响应特性的系统所产生的输出就是输入的时移。

离散情况是类似的，除非当线性相位的斜率并不是一个整数时，其在时域的效果就是包络的时移，但序列值本身可能会发生改变。

2.2 群时延

根据上面对线性与非线性相位的分析，我们知道相位特性的斜率就是时移的大小，不论是连续时间系统还是离散时间系统。

如果是线性相位，就很好理解，因为相位特性的斜率是一个固定值，如果 $\sphericalangle H(j \omega) = - \omega t_0$ ，那么系统给出的时移就是 $- t_0$ ，换言之延时 $t_0$ 。

如果是非线性相位，对于理工科学生而言也不难，其实就是微分的思想。设想一个连续时间LTI系统，要研究其对一个窄带输入信号 $x(t)$ 所产生的效果，该窄带输入的傅里叶变换在以 $\omega = \omega _0$ 为中心的一个很小的频率范围之外都等于0或非常小，将这个频带取得很小，就可以用线性关系近似系统的相位特性，即
$\sphericalangle H(j \omega) \simeq -\phi - \omega \alpha$

这样就有，
$Y(j \omega) = X(j \omega) \vert H(j \omega) \vert e^{-j \phi} e^{-j\omega \alpha}$

其中 $e^{-j\omega \alpha}$ 构成了系统对窄带输入信号 $x(t)$ 的时延，延时 $\alpha$ 秒，这个时延称为在 $\omega = \omega _0$ 的群时延（group delay）。因为它代表了以 $\omega = \omega _0$ 为中心的一个很小的频带所受到的公共时延。群时延用函数定义为，
$\tau (\omega) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega} \{ \sphericalangle H(j \omega) \}$

负号表示斜率的负数为时延大小。

2.3 对数模与相位图

根据LTI系统频率响应的模-相表示，我们看出相位关系是相加的，而幅度关系是相乘的。如果用傅里叶变换的模用对数表示，相乘就会变为相加，
$\log \vert Y(j \omega) \vert = \log \vert H(j \omega) \vert + \log \vert X(j \omega) \vert$

离散时间情况下也有类似的表示。

因此，如果有输入的傅里叶变换和LTI系统频率响应的对数模和相位图，可以简单将输入信号傅里叶变换对数模与系统频率响应对数模相加得到输出信号傅里叶变换的对数模图，相位图相加得到输出信号相位图。类比LTI系统的级联是一样的，相乘变为了对数的相加。

对于对数模图，纵轴常用的对数标尺是以 $20\log _{10}$ 为单位的，称为分贝（dB）。0dB对应模为1，20dB表示10倍增益，-20dB表示0.1倍衰减，6dB近似2倍增益。

对于连续时间系统，对数模图和相位图横轴常见采用对数频率坐标。其中 $20 \log _{10} \vert H(j \omega) \vert$ 和 $\sphericalangle H(j \omega)$ 分别为纵轴，对 $log_{10} (\omega)$ 为横轴的图称为伯德图（Bode）。如果 $h(t)$ 为实信号，那么 $H(j \omega)$ 为 $\omega$ 的偶函数， $\sphericalangle H(j \omega)$ 为 $\omega$ 的奇函数，因此伯德图只画出 $\omega > 0$ 的部分。

对于离散时间系统，因为其频率响应是 $\omega$ 的周期函数，周期为 $2\pi$ ，因此对于离散情况，对数模图和相位图不采用对数频率为横轴，横轴采用线性频率。而且因为这个周期性和实值 $h[n]$ 傅里叶变换的对称性，离散时间对数模图和相位图一般只画出 $0 \leq \omega \leq \pi$ 的部分。

3. 理想频率选择性滤波器的时域特性

连续时间
$H(j \omega) = \begin{cases} 1, &\vert \omega \vert \leq \omega _c \\\\ 0, &\vert \omega \vert > \omega _c \end{cases}$

离散时间
$H(e^{j \omega}) = \begin{cases} 1, &\vert \omega \vert \leq \omega _c \\\\ 0, &\omega _c < \vert \omega \vert \leq \pi \end{cases}$

这里我们假设系统具有零相位特性。如果系统在通带内具有线性相位，那么相对于零相位特性的理想低通滤波器来说，仅仅是引入了一个单一的时移。

相应的，单位冲激响应为
$h(t) = \frac{\sin \omega _c t}{\pi t}$

$h[n] = \frac{\sin \omega _c n}{\pi n}$

注意，无论是在连续时间下还是离散时间下，滤波器的通带宽度正比于 $\omega _c$ ，而单位冲激响应的主瓣宽度正比于 $1/ \omega _c$ ，也就是说，当滤波器带宽增加时，单位冲激响应越窄，反之亦然。

现在研究理想低通滤波器的阶跃响应 $s(t)$ 和 $s[n]$ 。理想滤波器的阶跃响应都存在振铃现象，即有比稳态值大的超量。且上升时间反比于带宽，即带宽越窄，上升时间越长。

4. 非理想滤波器的时域与频域特性讨论

这个阅读课本p.285 - p.287就行，因为不涉及数学推导，难度很低。

综合考虑实现的难易程度，实现成本，还有现实世界常用因果系统，综合考虑，我们要用非理想滤波器。

5. 一阶和二阶连续时间系统

现实世界中很多物理系统可以用线性常系数微分方程来表示，而且高阶系统常常由一阶和二阶系统级联或并联构成。

5.1 一阶连续时间系统

对于一个一阶系统，其微分方程往往表示为如下形式，
$\tau \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d}t} + y(t) = x(t)$

相应的一阶系统的频率响应是，
$H(j \omega) = \frac{1}{j \omega \tau +1}$

其单位冲激响应为，
$h(t) = \frac{1}{\tau} e^{-t/ \tau} u(t)$

阶跃响应，
$s(t) = h(t) * u(t) = [1-e^{-t/ \tau}]u(t)$

上面各式中，参数 $\tau$ 称为时间常数，它控制着这个一阶系统的响应快慢。当 $t=\tau$ 时，冲激响应衰减到 $t=0$ 时的 $1/e$ 倍，而阶跃响应举例终值1还有 $1/e$ 。当 $\tau$ 越小，单位冲激响应越快衰减，阶跃响应越快到达终值。注意一阶连续时间系统不存在任何振荡。

现在研究这个一阶系统的伯德图，首先看对数模特性，
$20\log _{10} \vert H(j \omega) \vert = -10 \log _{10} [(\omega \tau)^2 + 1]$

当 $\omega \tau << 1$ 时，对数模近似为0；当 $\omega \tau >> 1$ 时，对数模近似为对数频率 $\log _{10} (\omega)$ 的线性函数，即
$20\log _{10} \vert H(j \omega) \vert \simeq \begin{cases} 0, &\omega << 1/ \tau \\\\ -20 \log _{10} (\omega) - 20 \log _{10} (\tau), &\omega >> 1/ \tau \end{cases}$

当 $\omega = 1 / \tau$ 时，上面两个分式在伯德图上相交，因此 $\omega = 1 / \tau$ 称为转折频率，这个频率处的模的实际值约为-3dB，所以这个频率也被称为-3dB点。上面的约式称为伯德图的渐进近似。

观察上式中存在一项 $-20 \log _{10} (\omega)$ ，这一项表示在 $\omega >> 1/ \tau$ 时，模特性每10倍频程有20dB的衰减，因此这个渐近线被称为每十倍频程20dB渐近线。

相位特性有，
$\sphericalangle H(j \omega) = -\arctan (\omega \tau) \simeq \begin{cases} 0, &\omega \leq 0.1/ \tau \\\\ -(\pi /4)[\log _{10} (\omega \tau) + 1], & 0.1/ \tau \leq \omega \leq 10/ \tau \\\\ -\pi /2, & \omega \geq 10 / \tau \end{cases}$

注意中间的分式表示，相位特性在 $0.1/ \tau$ 到 $10/ \tau$ 区间内从0线性下降到 $-\pi /2$ 。相位特性渐进线与实际值在转折频率处是相等的，都是 $-\pi /4$ 。

5.2 二阶连续时间系统

二阶系统的线性常系数微分方程一般形式为，
$\frac{\mathrm{d} ^2 y(t)}{\mathrm{d} t^2} + 2 \zeta \omega _n \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t} + \omega _n ^2 y(t) = \omega _n ^2 x(t)$