从1开始,一列整数
1,2,3,4,5,…
和
从2开始,一列偶数
2,4,6,8,10,…
哪一列数字多?
为什么?
这其实是个不容易说清楚的问题,
毕竟两列数字都有无穷多个数。
然而,
“无穷”和“有限”的性质是很不一样的,
要理解这个问题,
很有必要了解一下“无穷”的特性。
下面,
请听成就君慢慢道来。
如果我问你,
和
哪个框里数字多?
你肯定很快就能数出来,
前一个框里有10个数,
后一个框里有5个数,
10>5,
当然是前一个框里数字多!
这没啥难度是吧,
那我接着问:
和
哪个框里数字多?
前一个框里是1亿以内的正整数,有1亿个数,
后一个框里是1亿以内的正偶数,有5千万个数,
100000000>50000000,
所以前一个框里数字多。
不仅如此,你还能算出来,
前者数量是后者的2倍。
那如果我把两个框里的数字
按照各自的规律无限增加:
和
哪个框里数字多?
按照之前的逻辑,
直觉告诉我们,
应该是前一个框里数字多,
而且前者数量应该是后者的2倍。
这回直觉并没有给我们带来什么帮助。
我们在生活中根本看不到“无穷多”的现象,
“无穷多”只存在于人的想象中,
所以用“有穷”或“有限”的经验来理解“无穷”,
是无济于事的。
那么,
“无穷”是不是无法理解了呢?
——不见得。
既然我们要比较两列数字的多少,
那么我们来好好审视一下,
什么叫“多”,什么叫“少”?
在前面举的两个例子里,
10>5,
100000000>50000000,
我们都能够找到一个数字来表示一个框里数字的总量,
然后通过比较两个数字的大小,
来判断两个框里数量的多少。
然而,
到了“无穷多个”的情况,
这种方法不管用了,
因为“无穷多”并不能用一个数来表示,
如果非要用一个符号来表示,
那么用“∞”来表示也可以。
但是,
你如果要写成:
∞>∞,
或者:
∞=2×∞,
这又表示什么意思呢?
这是不能成立的,
即便是∞=∞的写法都会让人匪夷所思。
所以,在“无穷”的世界里,
用比较数字大小的方法是行不通的。
那么,
我们就要另外找一个判断数量多少的方法。
我们设想一个场景,
你编了一条草绳,我也编了一条草绳,
我们想比一比,
谁的绳子长。
当然,
我们可以找一把尺子量一下,
你的绳子长60cm,
我的绳子长50cm,
所以你的绳子比我的长。
但是如果手上没有尺子怎么办?
你可能想到了,
这个办法很简单,
只要把两条绳子一头对齐,
然后并列拉直,
再看另一头谁长出来了就行了。
这就是最原始也最有效的方法。
返回来看前面数量比较的方法:
用数字来表示数量,
就相当于用尺子量绳子长度。
如果没有了数字这一工具,
那么,我们还可以这样来比较数量:
把两个框里的数字分别排成两列,
并让两列数字一一对应,
再看两列数字的末尾谁还有剩余,
就可以知道谁更多了。
订立了这一个比较数量的方法,
就可以来比较两列“无穷多”数字的多少了。
第一步:排成两列
两个框里的数字已经是按顺序一个一个地排列好的。
第二步:一一对应
1对2,2对4,3对6,…
上面每一个数乘以2,都对应着下面的一个数。
第三步:看末尾
第一列数里,每一个数字都能在第二列数中找到对应的数字,
反过来,
第二列数里,每一个数字都能在第一列数中找到对应的数字。
谁也没有在对方那里找不到对应的情况,
所以,
两列数字一样多。
或许你要说,
这不就是“∞=∞”的意义了吗?
但成就君要告诉你,
“∞=∞”依然不能成立。
因为,
并不是所有的“无穷多”都是一样多的。
自然数是无穷多的,
整数是无穷多的,
偶数是是无穷多的,
有理数是无穷多的,
无理数也是无穷多的。
自然数、整数、偶数、有理数是一样多的,
然而无理数比它们都要多。
(注意:更严谨的数学表达应该用“测度”来表示)
为什么??
因为它们无理呀
哈哈哈哈哈!!!
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