“无穷”的世界里有令人惊奇的性质!

从1开始,一列整数

1,2,3,4,5,…

从2开始,一列偶数

2,4,6,8,10,…

哪一列数字多?

为什么?

这其实是个不容易说清楚的问题,

毕竟两列数字都有无穷多个数。

然而,

“无穷”和“有限”的性质是很不一样的,

要理解这个问题,

很有必要了解一下“无穷”的特性。

下面,

请听成就君慢慢道来。

如果我问你,

哪个框里数字多?

你肯定很快就能数出来,

前一个框里有10个数,

后一个框里有5个数,

10>5,

当然是前一个框里数字多!

这没啥难度是吧,

那我接着问:

哪个框里数字多?

前一个框里是1亿以内的正整数,有1亿个数,

后一个框里是1亿以内的正偶数,有5千万个数,

100000000>50000000,

所以前一个框里数字多。

不仅如此,你还能算出来,

前者数量是后者的2倍。

那如果我把两个框里的数字

按照各自的规律无限增加:

哪个框里数字多?

按照之前的逻辑,

直觉告诉我们,

应该是前一个框里数字多,

而且前者数量应该是后者的2倍。

这回直觉并没有给我们带来什么帮助。

我们在生活中根本看不到“无穷多”的现象,

“无穷多”只存在于人的想象中,

所以用“有穷”或“有限”的经验来理解“无穷”,

是无济于事的

那么,

“无穷”是不是无法理解了呢?

——不见得。

既然我们要比较两列数字的多少,

那么我们来好好审视一下,

什么叫“多”,什么叫“少”?

在前面举的两个例子里,

10>5,

100000000>50000000,

我们都能够找到一个数字来表示一个框里数字的总量,

然后通过比较两个数字的大小,

来判断两个框里数量的多少。

然而,

到了“无穷多个”的情况,

这种方法不管用了,

因为“无穷多”并不能用一个数来表示,

如果非要用一个符号来表示,

那么用“∞”来表示也可以。

但是,

你如果要写成:

∞>∞,

或者:

∞=2×∞,

这又表示什么意思呢?

这是不能成立的,

即便是∞=∞的写法都会让人匪夷所思。

所以,在“无穷”的世界里,

用比较数字大小的方法是行不通的。

那么,

我们就要另外找一个判断数量多少的方法

我们设想一个场景,

你编了一条草绳,我也编了一条草绳,

我们想比一比,

谁的绳子长。

当然,

我们可以找一把尺子量一下,

你的绳子长60cm,

我的绳子长50cm,

所以你的绳子比我的长。

但是如果手上没有尺子怎么办?

你可能想到了,

这个办法很简单,

只要把两条绳子一头对齐

然后并列拉直

看另一头谁长出来了就行了。

这就是最原始也最有效的方法。

返回来看前面数量比较的方法:

数字来表示数量,

就相当于用尺子量绳子长度。

如果没有了数字这一工具,

那么,我们还可以这样来比较数量:

把两个框里的数字分别排成两列

并让两列数字一一对应

看两列数字的末尾谁还有剩余

就可以知道谁更多了。

订立了这一个比较数量的方法,

就可以来比较两列“无穷多”数字的多少了。

第一步:排成两列

两个框里的数字已经是按顺序一个一个地排列好的。

第二步:一一对应

1对2,2对4,3对6,…

上面每一个数乘以2,都对应着下面的一个数。

第三步:看末尾

第一列数里,每一个数字都能在第二列数中找到对应的数字,

反过来,

第二列数里,每一个数字都能在第一列数中找到对应的数字。

谁也没有在对方那里找不到对应的情况,

所以,

两列数字一样多

或许你要说,

这不就是“∞=∞”的意义了吗?

但成就君要告诉你,

“∞=∞”依然不能成立。

因为,

并不是所有的“无穷多”都是一样多的

自然数是无穷多的,

整数是无穷多的,

偶数是是无穷多的,

有理数是无穷多的,

无理数也是无穷多的。

自然数、整数、偶数、有理数是一样多的,

然而无理数比它们都要多。

(注意:更严谨的数学表达应该用“测度”来表示)

为什么??

因为它们无理呀

哈哈哈哈哈!!!

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