4.拉姆齐模型

在索洛模型中，我们假设了一个固定的 消费率和储蓄率，然而现实生活中，我们可以根据经济情况调整对于消费的分配。 

在Ramsey Model 中， 

U_{c}= \frac{c^{1-1/\theta}-1}{1-1/ \theta},

这样U对c的求导将会是c^{-1/\theta},二阶导数是 -1/\theta c^{-1-1/\theta},

当c=0,时， U = 0，

当 c= \infty时，\frac{dU}{dc}=0.

那么我们可以得到如下模型：

max \sum_t^T B^t U(c_t)

 \text{subject to } \forall t, c_t + k_{t+1} \leq (1-\delta)k_t+ f(k_t) (因为我们讨论的是一个宏观模型，对于一个社会来说，因此用k 资本来表示)

接下来重复之前的计算

那我们可以得到如下的式子

\sum_t^T B^t [U(c_t) + u_t ((1-\delta)k_t+ f(k_t) - k_{t+1}- c_t)]

求导得到

U’_c(c_t)= u_t  （对c求导）

B^{t-1} u_{t-1}= B^t u_t (1-\delta + f’(k_t)) (对 k_t求导)

(1-\delta)k_t+ f(k_t) - k_{t+1}- c_t =0 (对u求导)

那么我们可以得到

u_{t-1} = B u_t (1-\delta + f’(k_t))

\frac{u_{t-1}}{u_t} =B ({1-\delta +f’(k_t) })

所以我们可以得到 不同时期u之间的关系，也可以得到不同时期

U'(c_t)之间的关系。 

\frac{U’_c(c_{t-1})}{U’_c(c_t)}=\frac{u_{c-t}}{u_c}= B( {1-\delta+f’(k_{t})} )，如果我们展开U prime，

可以得到

B( {1-\delta+f’(k_{t})} ) = \frac{c_{t-1}^{-1/\theta}}{c_t^{-1/\theta}},

那么 \frac{c_t}{c_{t-1}} = B^\theta (1-\delta + f’(k_t))^\theta

所以当  B(1-\delta + f’(k_t))>1时， \frac{c_t}{c_{t-1}} >1 ,即消费是递增的。 可以理解为，如果我们将当前的资本用于投资并且可以获得跑赢B的回报时，我们会选择减少当前消费而把消费转移到未来。 


TODO: 上面的是一个social planner的情况，还有没有social planner（所有人都最大化自己利益）的情况， 证明在平衡条件下他们coincide

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