引力是宇宙中广泛存在的吸引力。它能让物质聚集在一起，这意味着，不论是生命晚期燃烧核心燃料的恒星、还是在自身重力下坍塌的气体云，这些不同的物理系统的自然归宿都可能是黑洞。
黑洞是一种极其致密的物质，它的引力大到连光也无法逃脱其表面（或事件视界）。事实上在宇宙中，黑洞非常常见——我们的银河系中心就有一个巨大的黑洞——但同时也很神秘。
在这篇文章中，我们将探讨一个关于黑洞的问题——如何计算被黑洞隐藏在事件视界后，不同（但相似）的物理状态的数量？物理学家称其为黑洞熵。

数理科学·天文学

什么是熵？

熵是用来描述系统的混乱程度或任意性的量度。

以卧室为例，一个非常干净整洁的卧室具有较低的熵，每件衣服都被折叠起来，整齐的堆放在衣柜里；与之相反，在凌乱的卧室里，衬衫、短裤等随意乱扔，这个卧室具有较高的熵。在物理系统中，属于低温下的物质具有较低的熵，物质中的每个原子位于使系统能量最小化的位置，系统的各个组成部分无法自主选择自身的位置（整洁的房间）；与之相反，高温下的物质则具有高熵，原子可以在热物质中四处飞行（凌乱、到处乱飞的房间）。

就定义来说，系统的熵被定义为其组成部分（物质的原子，房间的衬衫短裤）的可能组合数的对数，而一种可能的组合对于一名随机的观察者来说大致相同。

桌子、房间或一个铅块都有各自的熵。我们知道这些系统各自的组成部分，以及计算这些部分的组合数的方式。不过，让理论物理学家感到吃惊的是，早在1970年代初就发现，即使是黑洞这种尚不清楚内部组成的物质，我们也可以计算它们的熵。

熵(entropy)：给定物理系统的混乱程度或任意性（或粗略地说，能制造出这种物质的组合的数量）。

Bekenstein 的远见

黑洞是什么？

想象一下，你要压碎一块总质量为M的物质，随着这个物质的体积越来越小，它的密度也会越来越大。根据爱因斯坦的引力学说，当你有能力将它压缩进一个足够小的空间区域内时，这个物质就会转变成一种全新的物质——黑洞。黑洞是一种密度极大、引力极强的物质，它的引力强到连光也无法逃离其表面或事件视界，因此，它的内部组成和结构对黑洞外的世界（包括我们人类！）来说仍然是一个谜。

事件视界（event horizon）：黑洞的表面，这里是可逃脱黑洞的边界。如果如果你在事件视界（或者更靠近中心），你不可能逃离黑洞，即使你是一束光线——现代物理学中已知的移动最快的物质——你也会被吸入黑洞！也正因此，我们看不到黑洞内的任何事件。

物理学对于“足够小的空间区域”的定义是
$R_s(M)=\frac{2GM}{c^2}$

式中 $G$ 代表引力常数， $c$ 是光速， $R_s(M)$ 被称为史瓦西半径（Schwarzschild radius）。你不需要理解这个方程也可以继续读下去；这个方程描述的关键点在于，只要你将一个质量为M的物质压缩到半径小于 $R_s(M)$ 的球体空间内，那么它就会转变成一个黑洞。

我们这里所说的是极其致密的物质——有多密呢？如果你想压缩地球到能形成黑洞的大小，你需要将半径6400千米的地球压缩到半径9毫米！幸好，大自然已经为我们提供了现实的例子，我们不需要自己动手造一个黑洞。实际上，你想看的话，其实就能看到黑洞——准确的说是黑洞周围的邻居。几年前，事件视界望远镜合作项目拍摄了一张壮观的黑洞图像：位于M87星系中的一个黑洞，它的重量几乎是太阳的 70 亿倍^[1]（图1）。

图1 - M87星云黑洞 | NASA

Jacob Bekenstein 是 1970 年代 Princeton 大学的一名研究生，在求学期间，他曾思考这样一个问题：黑洞外的观察者只能看到事件视界——黑洞内部是看不见的。而事件视界的物理特性只由几个数字来表征：最简单的，是黑洞的质量 $M$ 。

但是——Bekenstein 想——合成质量为 $M$ 的黑洞，难道只能有一种方式吗？我可以通过组合大量的大象或袋熊来形成黑洞，那么，黑洞形成过程中，组成方式发生了什么变化？黑洞难道就没有熵吗？

顺着这个思路，Bekenstein、以及后来 Bardeen、Carter和Hawking的更精确的研究，成功地证明了——黑洞确实有熵，并得到了一个将黑洞熵作为其质量的函数 $S(M)$ 的公式 [2]。不过，公式只是公式，并不能解释 $S(M)$ 所表征的物理量的确切性质。

先来数数吧

让我们先聊一聊黑洞研究中的另外一对天才科学家。当聊起 20 世纪的数学时，我们一定会谈到 Hardy 和 Ramanujan 的故事 ^[3]。Ramanujan 白天在 Madras 港做职员，晚上自学高等数学、做数学研究。他曾给几位著名的数学家写信描述他的结果，而其中一封来信收到了著名的剑桥大学数论家 G.H. Hardy 的回复。在回复中，他这样描述了 Ramanujan 在信中写下的公式：

这些公式，只消看一眼，就足以表明他们来自于最顶尖的数学家。这些公式一定是真实的，因为再天马行空的想象力也不足以发明这些公式。

靠着这些公式，Hardy 引荐 Ramanujan 进入剑桥，并在那里展开了数学史上的一段佳话。

他们的核心结果之一很容易解释：假设你有 5 个橙子，并且您希望将它们分配给你的几个朋友，分到几个人则由你来决定，你能想出将它们分成多少种方式？任何一个学过加减法的人都很容易地能写出这样的式子：

$5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$

也就是说，一共有7种方法来划分5个橙子：分成5个一组，4+1两组等等。我们定义一个新名词：分区数，并说5的分区数是7（即5有7种分法）。如果我们定义一个函数，将每个整数n与其分区数p(n)相关联，那么我们可以将上面这句话写成

$p(5)=7$

很好理解吧？对于比较小的n（如 3、4、5），计算 $p(n)$ 很容易。但是怎么计算 $p(100)$ 呢？如果你要用上面列举的方法来解决，你会很快发现这几乎不可能完成！那我们要怎么计算呢？

Hardy 和 Ramanujan 巧妙地研究出一种称为“循环法”(the circle method)的方法，并成功计算了这些数。他们提出了一个粗略地确定 $p(n)$ 的公式，并用这个公式计算出一个类似于图2的图表。图中x轴是n，而y轴则描述了对 $p(n)$ 的粗略估计的准确度。（虽然定义上分区数只对整数的n有意义，但他们的公式可以为所有可能的n值给出答案——并且还可以绘制出来）

图2 -对于 p(n) 与 n 的 Hardy-Ramanujan 估计准确度图，这里展示的n 值最高为 100。y轴上的标签表示估计的小数误差，即若 x = 100 时 y ≈ 0.05 意味着公式得到的 p(100) 误差在 5% 以内。| John D. Cook

那这和黑洞有什么关系？

那么，整数的分区数和黑洞有什么关系？要将这两个主题放在一起，我们首先要谈谈第三个主题——弦理论。

弦理论是科学家用来描述构成宇宙的最小事物（比原子还小）的理论之一。在弦理论中，基本粒子都是细小的弦环，其最低的能量状态是完全静息状态。当给弦增加能量时，弦可以产生各种频率的波，这个波能在弦环上传播。我们以图3为例（为了方便理解，我们用了开放的吉他琴弦而不是闭合的弦环）：一根弦振动时会有一个最小振动频率，最低频率的振动波会有一个峰，而更高的频率（更高音调的和弦）则会产生两个、三个或更多的峰。这意味着，一根弦的波动频率可以通过多个不同的正整数来描述。

图3 - 吉他弦有一个最低可振动的频率，更高频的和弦则是该最低频率的整数倍 | cronodon.com

更重要的是，要想让弦振动起来，我们可以用两个或更多个最低频率的波来激发弦。当我们把这样的弦放入微观世界时，弦的频率会受到量子力学的影响，弦不像在古典物理学那样能已任意数字振动，而是会将特定的宏观频率量化为离散的峰，即一些最低频率的整数（如1,2,1729，但不是2.718这样的小数）乘以对应频率下的波的能量（如3a+4b）。换句话说，琴弦在宏观状态下所具有的连续变化的性质（音调、频率等等），在微观状态下是一些离散的基本频率的整数倍的累加，就像是积木一样一块块地堆叠起来。

频率：对于一个波（水波、声波、琴弦波），这是波在单位时间内达到其最大高度的次数。10Hz的频率即意味着1s的时间内，弦振动的波能达到10次最大高度。
振幅：对振动峰值高度的度量，例如水波或弦的位移波。

现在，我们离计算弦论中的黑洞熵只有几步之遥了！

让我们重新理解计算的几个要点：

想象一根弦上同时出现许多不同频率的波，而所有频率都是正整数，我们需要计数的是每种频率上出现的“量子块”的数量
这些“量子块”作为频率组成的基本元件，其自身的能量代价随着 k 的增加而增加，更高的实际频率会消耗更多的能量，第 k 个频率消耗的能量是最低频率的 k 倍。
爱因斯坦最著名的方程式告诉我们 $E=mc^2$ ，也就是说，弦的振动能量可以表现为质量。

这样，我们可以用前面描述的 Hardy-Ramanujan 的方法，计算能量为 N 倍最低能量的大质量弦状态的数量。我们可以组合n(1)数量的最低频率、n(2)数量的第二频率、n(3)数量的第三频率等……来达到总能量 N，且可以得到

$N=n(1)+2n(2)+3n(3)+...$

公式右侧的每一种可能的 [n(1),n(2),…] 的组合都表示了一种 N 的分区！总能量为N的大质量弦的分区数，则可以通过正整数的 $p(N)$ 给出。

弦理论中，高度激发、摆动的弦理论上可以处于史瓦西半径内并形成黑洞，因此我们就能得出黑洞熵 $S(M)$ 的公式。这样，我们就能（正确）根据分区数计算出黑洞熵的预测值了^[4]！

参考资料

[1] Event Horizon Telescope. Available online at: https://eventhorizontelescope.org (accessed April 24, 2020).
[2] Hawking, S. 1998. A Brief History of Time. New York, NY: Bantam.
[3] Kanigel, R. 2016. The Man Who Knew Infinity. New York, NY: Washington Square Press.
[4] Susskind, L. 2009. The Black Hole War. New York, NY: Back Bay Books.

有多少种制造黑洞的方式？让我们动手算一下

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