大师兄的贝叶斯网络学习笔记（二十二）：贝叶斯网络与概率推理（五）

大师兄的贝叶斯网络学习笔记（二十一）：贝叶斯网络与概率推理（四）
大师兄的贝叶斯网络学习笔记（二十三）：贝叶斯网络与概率推理（六）

二、变量消元算法

4. 案例

上图中，设证据为 $\{F=0\}$ ，考虑调用VE算法计算 $P(A|F=0)$ 。
设变量消元顺序 $\rho=<C,E,B,D>$ 。
贝叶斯网络给出的联合分布的分解为： $F = \{P(A),P(B),P(C),P(D|A,B),P(E|B,C),P(F|D,E)\}$ 。

VE算法首先设置证据F=0，得： $F=\{P(A),P(B),\underline{P(C)},P(D|A,B),\underline{P(E|B,C),P(F=0|D,E)}\}$ ;

第一个要消去的变量为C，与之有关的函数 $P(C)$ 和 $P(E|B,C)$ ，消去C，得 $F=\{P(A),P(B),P(D|A,B),\underline{P(F=0|D,E)}，\psi_1(B,E)\}$ ；，这里 $\psi_1(B,E)=\sum_CP(C)P(E|B,C)$ ；

下一个要消去的变量为E，与之有关的函数是 $P(F=0|D,E)$ 和 $\psi_1(B,E)$ ，消去E，得： $F=\{P(A),\underlineP(B),P(D|A,B),\psi_2(B,D)\}$ ，这里 $\psi_2(B,D)=\sum_EP(F=0|D,E)\psi_1(B,E)$ ；

下一个要消去的变量为B，阈值有关的函数是 $P(B),P(D|A,B)$ 和 $\psi_2(B,D)$ 。消去B，得 $F=\{P(A),\psi_3(A,D)\}$ ，这里 $\psi_3(A,D)=\sum_BP(B)P(D|A,B)\psi_2(B,D)$ ；

最后一个要消去的变量为D，与之有关的函数是 $\psi_3(A,D)$ 。消去D，得到 $F=\{P(A),\PSI_4(A)\}$ ，这里 $\PSI_4(A)=\sum_D\psi_3(A,D)$ ；

计算 $h(A)=P(A)\psi_4(A)$ ；

返回 $P(A|F=0)=\frac{h(A)}{\sum_Ah(A)^.}$ ，这就是要求的后验概率分布。