分治法——棋盘覆盖问题
棋盘覆盖问题。有一个2k∗2k2k∗2k的方格棋盘，恰有一个方格是黑色的，其他为白色。你的任务是用包含3个方格的L型牌覆盖所有白色方格。黑色方格不能被覆盖，且任意一个白色方格不能同时被两个或更多牌覆盖。如图所示为L型牌的4种旋转方式。
分治三步骤
划分问题：将2k∗2k2k∗2k的棋盘划分为2k−1∗2k−12k−1∗2k−1这样的子棋盘4块。
递归求解：递归填充各个格子，填充分为四个情况，在下面会有解释，递归出口为k=0k=0也就是子棋盘方格数为1。
合并问题：不需要合并子问题。
递归填充的四种情况
如果黑方块在左上子棋盘，则递归填充左上子棋盘；否则填充左上子棋盘的右下角，将右下角看做黑色方块，然后递归填充左上子棋盘。
如果黑方块在右上子棋盘，则递归填充右上子棋盘；否则填充右上子棋盘的左下角，将左下角看做黑色方块，然后递归填充右上子棋盘。
如果黑方块在左下子棋盘，则递归填充左下子棋盘；否则填充左下子棋盘的右上角，将右上角看做黑色方块，然后递归填充左下子棋盘。
如果黑方块在右下子棋盘，则递归填充右下子棋盘；否则填充右下子棋盘的右下角，将左上角看做黑色方块，然后递归填充右下子棋盘。
棋盘覆盖问题分治算法
void chessBoard(int row, int column, int x, int y, int siz) {
// 递归出口
if(siz == 1) {
return;
}
// 对半划分成2^(siz - 1) * 2^(siz - 1)的棋盘
int s = siz / 2;
// L型牌编号自增
int t = ++number;
// 中间点，以此判别(x,y)在哪个子棋盘中
int centerRow = row + s;
int centerColumn = column + s;
// 黑色方格在左上子棋盘
if(x < centerRow && y < centerColumn) {
chessBoard(row, column, x, y, s);
} else {
// 不在则填充左上子棋盘的右下角
chess[centerRow - 1][centerColumn - 1] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(row, column, centerRow - 1, centerColumn - 1, s);
}
// 黑色方格在右上子棋盘
if(x < centerRow && y >= centerColumn) {
chessBoard(row, centerColumn, x, y, s);
} else {
// 不在则填充右上子棋盘的左下角
chess[centerRow - 1][centerColumn] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(row, centerColumn, centerRow - 1, centerColumn, s);
}
// 黑色方格在左下子棋盘
if(x >= centerRow && y < centerColumn) {
chessBoard(centerRow, column, x, y, s);
} else {
// 不在则填充左下子棋盘的右上角
chess[centerRow][centerColumn - 1] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(centerRow, column, centerRow, centerColumn - 1, s);
}
// 黑色方格在右下子棋盘
if(x >= centerRow && y >= centerColumn) {
chessBoard(centerRow, centerColumn, x, y, s);
} else {
// 不在则填充右下子棋盘的左上角
chess[centerRow][centerColumn] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(centerRow, centerColumn, centerRow, centerColumn, s);
}
}
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测试主程序
include <iostream>
using namespace std;
const int maxNum = 1 << 10;
// 棋盘
int chess[maxNum][maxNum];
// L型牌编号
int number;
void chessBoard(int row, int column, int x, int y, int siz) {
// 递归出口
if(siz == 1) {
return;
}
// 对半划分成2^(siz - 1) * 2^(siz - 1)的棋盘
int s = siz / 2;
// L型牌编号自增
int t = ++number;
// 中间点，以此判别(x,y)在哪个子棋盘中
int centerRow = row + s;
int centerColumn = column + s;
// 黑色方格在左上子棋盘
if(x < centerRow && y < centerColumn) {
chessBoard(row, column, x, y, s);
} else {
// 不在则填充左上子棋盘的右下角
chess[centerRow - 1][centerColumn - 1] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(row, column, centerRow - 1, centerColumn - 1, s);
}
// 黑色方格在右上子棋盘
if(x < centerRow && y >= centerColumn) {
chessBoard(row, centerColumn, x, y, s);
} else {
// 不在则填充右上子棋盘的左下角
chess[centerRow - 1][centerColumn] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(row, centerColumn, centerRow - 1, centerColumn, s);
}
// 黑色方格在左下子棋盘
if(x >= centerRow && y < centerColumn) {
chessBoard(centerRow, column, x, y, s);
} else {
// 不在则填充左下子棋盘的右上角
chess[centerRow][centerColumn - 1] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(centerRow, column, centerRow, centerColumn - 1, s);
}
// 黑色方格在右下子棋盘
if(x >= centerRow && y >= centerColumn) {
chessBoard(centerRow, centerColumn, x, y, s);
} else {
// 不在则填充右下子棋盘的左上角
chess[centerRow][centerColumn] = t;
// 然后覆盖其他格子，注意这时(x,y)要看做已填充位置
chessBoard(centerRow, centerColumn, centerRow, centerColumn, s);
}
}
int main() {
// 大小，黑色方格位置
int siz, x, y;
while(true) {
cout << "(x,y)从(0,0)开始,输入数据为0 0 0即结束程序。" << endl;
cout << "请输入棋盘大小和黑色方格位置(x,y)：";
cin >> siz >> x >> y;
// 退出条件
if(siz == 0) {
break;
}
// 涂黑(x,y)，初始化L型牌编号
chess[x][y] = number = 1;
// 分治法填满棋盘
chessBoard(0, 0, x, y, siz);
// 输出该棋盘
for(int i = 0; i < siz; i++) {
for(int j = 0; j < siz; j++) {
cout << chess[i][j] << "\t";
}
cout << endl << endl << endl;
}
}
return 0;
}
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输出数据
(x,y)从(0,0)开始,输入数据为0 0 0即结束程序。
请输入棋盘大小和黑色方格位置(x,y)：2 0 0
1 2
2 2
(x,y)从(0,0)开始,输入数据为0 0 0即结束程序。
请输入棋盘大小和黑色方格位置(x,y)：4 1 1
3 3 4 4
3 1 2 4
5 2 2 6
5 5 6 6
(x,y)从(0,0)开始,输入数据为0 0 0即结束程序。
请输入棋盘大小和黑色方格位置(x,y)：8 2 2
4 4 5 5 9 9 10 10
4 3 3 5 9 8 8 10
6 3 1 7 11 11 8 12
6 6 7 7 2 11 12 12
14 14 15 2 2 19 20 20
14 13 15 15 19 19 18 20
16 13 13 17 21 18 18 22
16 16 17 17 21 21 22 22
(x,y)从(0,0)开始,输入数据为0 0 0即结束程序。
请输入棋盘大小和黑色方格位置(x,y)：0 0 0
Process returned 0 (0x0) execution time : 29.988 s
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作者：Switch_vov
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/q547550831/article/details/51541527
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