狄拉克δ函数的平方是什么？

最近看之前读过的文献，遇到了下面的公式：

\delta ^2(x)=\frac{L\delta(x)}{2\pi}

其中，L是x的分布范围。之前是搞清楚怎么推导了，现在又忘记了。花了大概一个小时重新推导了一下。查网站翻书，特别头疼，都是因为自己没有做记录！！！同时发现中文关于这个内容比较少，所以发出来希望能帮助到大家。

首先了解一下狄拉克δ函数（Dirac delta function）的定义：

狄拉克δ函数
狄拉克δ函数定义

可见狄拉克δ函数实际上是常数1的傅里叶变换。那么狄拉克δ函数的平方就是两个常数1的傅里叶变换的乘积。根据卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘机，也就是是说上面的乘机积结果是常数1和常数1的卷积的傅里叶变换。

因此\delta^2(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)d\tau) e^{ipx}dx

如果x属于（0~L），则

\delta^2(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{L}(\int_{0}^{L} 1*1d\tau) e^{ipx}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{L}L e^{ipx}dx=\frac{L}{2\pi}\int_{0}^{L} e^{ipx}dx=\frac{L}{2\pi}\delta(x)

证明出来了。

未仔细检查，如有错误请留言

参考资料：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%84%E6%8B%89%E5%85%8B%CE%B4%E5%87%BD%E6%95%B0

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%A7%AF%E5%AE%9A%E7%90%86

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容