抛硬币的结果满足二项分布，即若每次试验正面向上的概率为θ，进行m次试验，其中n次正面向上的概率为
%20%26%3D%20%5Ctbinom%7Bm%7D%7Bn%7D%7B%5Ctheta%7D%5En(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7Bm!%7D%7Bn!%7B(m-n)%7D!%7D%20%5Ctheta%5En%20(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%20%5Cend%7Balign%7D)
当
时，若进行十次试验，出现五次正面向上的概率最大，四次或六次正面向上的概率略小。如果
，十次试验中依然是出现五次正面向上的概率最大，此时%20%3D%20%5Ctbinom%7B10%7D%7B5%7D%200.53%5E5(1-0.53)%5E5%20%3D%200.2417)
反过来思考，倘若不知道正面向上的概率，只有“抛十次硬币出现五次正面向上”这一观察结果，能否判定
呢？显然是不行的。
都是很有可能的；甚至当
时，十次试验仍有2%的几率出现五次正面向上。
可见，当观察到试验结果时，我们无法准确判定
的确切值，而只能对它的概率分布作出判断。在上述例子中，我们倾向于认为
的可能性较大，而等于
的可能性较小。
定量描述“取值的可能性”需要引入似然性的概念。似然性表示参数为某个特定值的可能性，也等于对应参数下样本分布的概率，即
%20%3D%20P(Y%20%3B%20%5Ctheta))
在本例中，十次试验出现五次正面向上时，的似然函数即为
%20%3D%20P(Y%3D5%20%3B%20%5Ctheta)%20%3D%20%5Ctbinom%7B10%7D%7B5%7D%5Ctheta%5E5%20(1-%5Ctheta)%5E5)
在![[0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B0%2C1%5D)
变化时，似然函数的大小即代表取值可能性的大小。
需要注意的是，似然函数的值并不等于参数取到某值的确切概率，函数值大小关系仅反应取对应自变量的可能性大小关系。若要定量描述参数的概率分布及其取某一确切值的概率，需要对似然函数进行归一化处理得到其概率密度函数，即通过除以函数面积构造新函数让其在给定区间内积分为1.因此，对一正函数)
,在给定定义域内作%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7B%5Cint%20f(u)%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20u%7D)
,则%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D1)
对于二项分布的似然函数作同样处理，则有
%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctbinom%7Bm%7D%7Bn%7D%7B%5Ctheta%7D%5En(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%7D%7B%5Cint_0%5E1%5Ctbinom%7Bm%7D%7Bn%7D%20%7B%5Ctheta%7D%5En(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Ctheta%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%5En%20(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%20%7D%7B%5Cint_0%5E1%5Ctheta%5En%20(1-%5Ctheta)%5E%7Bm-n%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Ctheta%20%7D%20%5Cend%7Balign%7D)
为表美观，我们令%20%3D%20P(%5Ctheta))
,则
%20%26%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Calpha-1%7D%20(1-x)%5E%7B%5Cbeta-1%7D%7D%7B%5Cint_0%5E1%20u%5E%7B%5Calpha-1%7D%20(1-u)%5E%7B%5Cbeta-1%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Du%20%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BB(%5Calpha%2C%20%5Cbeta)%7D%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D%20(1-x)%5E%7B%5Cbeta-1%7D%20%5Cend%7Balign%7D)
至此，我们成功推导出了Beta分布的概率密度公式。Beta分布描述的是，进行伯努利试验（抛硬币），出现
次正面，
次反面时，正面向上的概率的概率分布。当我们没有抛硬币时，出现正面与反面向上的次数均为0，此时可认为硬币正面向上的概率满足)
的分布，即均匀分布；其概率密度函数如图
若抛了三次硬币均为正面，此时正面向上概率满足)
的分布，其概率密度函数如图
即有充分理由认为正面向上概率靠近1
当分别进行10次试验出现5正5反以及进行1000次试验出现500正500反时，正面向上概率分别满足)
及)
分布，其函数图像为
显然，的概率分布明显比更向0.5集中。即，当抛十次硬币出现五正五反时，的取值仍相当有可能不为0.5，而当抛1000次硬币出现500正500反时，取0.5以外值的可能性就很小了。
贝叶斯公式指出，后验概率正比于为先验概率×似然性。若后验分布与先验分布属于同类，则先验分布与后验分布被称作共轭分布，该先验分布被称为似然函数的共轭先验。
共轭先验的概念必须基于似然函数进行讨论。在抛硬币的例子中，我们通过对似然函数的归一化得到了
分布，因此若将先验分布也设为分布，对后验分布的计算在代数上将十分简便。除了二项分布-分布外，正态分布-正态分布、泊松分布-
分布也是常见的共轭分布。
