面试中的一个线性代数证明题

问题：

定义矩阵A的范数：||A||_2 = \max_{x \in R, x \ne 0} \frac{||Ax||_2}{||x||_2}，A为对称正定阵。

证明：||A||_2 = \lambda(\lambda为A的最大特征值)

证明过程：

证明：||\cdot||_2表示向量的L_2范数，即||x||_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots +x_n^2 } = \sqrt{x^Tx}

由以上定义得：
||A||_2 = \max_{x \in R, x \ne 0}\frac{||Ax||_2}{||x||_2}

= \max_{x \in R, x \ne 0}\frac{\sqrt{(Ax)^T(Ax)}} {\sqrt{x^Tx}}

= \max_{x \in R, x \ne 0}\sqrt{\frac{(Ax)^T(Ax)} {x^Tx}}

= \max_{x \in R, x \ne 0}\sqrt{\frac{(Ax)^T(Ax)} {||x||_2^2}}

= \max_{x \in R, x \ne 0}\sqrt{\frac{x^TA^TAx} {||x||_2^2}}

令D=A^TA，D为对阵矩阵，则上式等于：

\max_{x \in R, x \ne 0}\sqrt{\frac{x^TDx} {||x||_2^2}}

= \max_{x \in R, x \ne 0}\sqrt{\frac{x^T}{||x||_2}D\frac{x}{||x||_2}}         (1)

令y=\frac{x}{||x||_2}，则y为单位矩阵，||y||_2^2= y^T y = 1，(1)式等于：

\max_{y \in R, y \ne 0}\sqrt{y^T D y}

根据条件优化定理（见下面）可得，

\max\sqrt{y^T D y} ,s.t.y^T y = 1的值为D的最大特征值,

又由于D = A^TA，且A为对称矩阵，则A可正交对角化，那么A可通过特征值分解为P \Sigma P^T，则：

D = A^TA = P \Sigma P^T P \Sigma P^T = P \Sigma^2 P^T

可以看出D相似于\Sigma^2，则D与\Sigma^2具有相同的特征值，即为A的特征值的平方，

如果A的最大特征值为\lambda，则D的最大特征值为\lambda^2，那么\sqrt{y^T D y}的最大值为\lambda，故：

||A||_2 = \max_{x \in R, x \ne 0} \frac{||Ax||_2}{||x||_2} = \max_{y \in R, y \ne 0}\sqrt{y^T D y}= \lambda，证毕。

条件优化定理：设A是对称矩阵，且m和M的定义如下式，那么M是D的最大特征值\lambda_1，m是D的最小特征值。如果y是对应于M的单位特征向量u_1，那么y^TDy的值等于M。 如果y是对应于m的单位特征向量，那么y^TDy的值等于m。m和M的定义：m = \min\{y^TDy:|y| = 1\}, M = \max\{y^TDy:|y| = 1\}

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