静电场的泊松方程

静电场的高斯定理： 通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数
$\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho (x,y,z)dV$
高斯公式：
$\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int_V \nabla \cdot \vec{E} dV$

矢量场通过任意闭合曲面 $S$ 的通量等于它所包围的体积 $V$ 内散度的积分

可以得到：
$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
法拉第定律： 静电场绕闭合回路的电动势为 0
$\oint_L \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$
斯托克斯公式：
$\oint_L \vec{E} \cdot d \vec{l} = \int_S \nabla \times \vec{E} \cdot ds$

矢量场的旋度在任意曲面上的面积分等于在该曲面的边界闭合曲线上的线积分

可以得到：
$\nabla \times \vec{E} = 0$

静电场无旋

存在有位函数 $\phi(x,y,z)$
$E = - \nabla \phi$
因而代入可得到 泊松方程：
$\Delta \phi = - \frac {\rho (x,y,z)}{\epsilon_0}$

其中 $\Delta$ 为 哈密顿算符

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