一、回溯算法：

1、核心思想：

采用试错的思想，尝试分步的去解决一个问题。在分步解决问题的过程中，当通过尝试发现有的分步答案不能得到有效的正确的解答的时候，它将取消上一步甚至是上几步的计算，再通过其它的可能的分步解答再次尝试寻找问题的答案。回溯法通常用最简单的递归方法来实现，在反复重复上述的步骤后可能出现两种情况：

找到一个可能存在的正确的答案
在尝试了所有可能的分步方法后宣告该问题没有答案

在最坏的情况下，回溯法会导致一次复杂度为 $O(2^n)$ 的计算。

二、回溯算法实战分析：

1、八皇后问题：

下图左边是满足条件的，右边是不满足条件的。

把这个问题划分成8个阶段，依次将8个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，不停地检查当前的方法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种方法，继续尝试。
代码：

int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
public void cal8queens(int row) { // 调用方式： cal8queens(0);
    if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果
        printQueens(result);
        return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
    }
    for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法
        if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求
            result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列
            cal8queens(row+1); // 考察下一行
        }
    }
}

private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适
    int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
    for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行
        if (result[i] == column) // 第i行的column列有棋子吗？
            return false; 
        if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？
            if (result[i] == leftup) 
                return false;
        }
        if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？
            if (result[i] == rightup) 
                return false;
        }
        --leftup;
        ++rightup;
    }
    return true;
}

private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵
    for (int row = 0; row < 8; ++row) {
        for (int column = 0; column < 8; ++column) {
            if (result[row] == column)
                System.out.print("Q ");
            else System.out.print("* ");
        }
        System.out.println();
    }
    System.out.println();
}

2、0-1背包：

有一个背包，背包总的承载重量是 $W$ kg。现在有 $n$ 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？
对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或者不装进背包。对于n个物品来说，总的装法就有2^n种，去掉总重量超过Wkg的，从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的。可以用回溯的方法。可以把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。是当发现已经选择的物品的重量超过Wkg之后，就停止继续探测剩下的物品。
代码：

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
// cw表示当前已经装进去的物品的重量和； i表示考察到哪个物品了；
// w背包重量； items表示每个物品的重量； n表示物品个数
// 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
    if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品
        if (cw > maxW){
            maxW = cw;
        }
        return;
    }
    f(i+1, cw, items, n, w);
    if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
        f(i+1,cw + items[i], items, n, w);
    }
}

数据结构与算法Day32----回溯算法