第四讲：常见公式整理

第四讲：常见公式整理

数学符号

\vec{e}_n, \vec{e}_{t}, \frac{x}{y}, v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} , \frac{d^2x}{dt^2}

对应的代码为
​$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ $\frac{d^2x}{dt^2}$

tips：

务必注意一维和高维的公式有哪些异同

知识点

  • 一维运动的位矢

    x=x(t)

  • 一维运动的速度(速率)

    v=\frac{dx}{dt}

  • 一维运动的加速度

    a=\frac{dv}{dt}

    a=\frac{d^2x}{dt^2}

  • 高维运动的位置

  • 直角坐标系：\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j} (位矢)

  • 自然坐标系：轨迹确定，给定s=s(t) 即可

    • s(t)​是什么？
    • tips: 特别适用于列车往返，圆周运动等轨迹确定的运动

  • 高维运动的速度

    • 直角坐标系：\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v_x}+\vec{v_y}
    • 自然坐标系：\vec v=v(t)\vec{e}_t​

  • 高维运动的速率

    • 直角坐标系：v=\frac{d\vec{r}}{t}=\sqrt{(v_x)^{2}+(v_y)^{2}}
    • 自然坐标系：v=v(t)=\frac{ds}{dt}​

  • 高维运动的加速度

    • 直角坐标系：\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a_x}+\vec{a_y}​
    • 自然坐标系：\vec{a}=\frac{dv(t)\vec{e}_t}{dt}=\vec {a_t}+\vec{a_n}

  • 高维运动的加速度的大小

    • 直角坐标系：a=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}​
    • 自然坐标系：a=\sqrt{{a_t}^2+{a_n}^2}

例题

  • 例1.

一质点在某瞬时的位矢为 \vec{r}(x,y) ，对其速度的大小为

  • (1) \frac{dr}{dt}​；
  • (2) \frac{d|\vec{r}|}{dt}​；
  • (3) \frac{ds}{dt}；
  • (4) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}​.

上述判断正确的是

解答：(3)、(4) //特例排除

  • 例2.

质点作曲线运动，对下列表述中，

  • (1)dv/dt=a；
  • (2)dr/dt=v； //r为标量，求导为0
  • (3)ds/dt=v​；
  • (4)|d\vec{v}/dt|=a_{t}​．
    正确的是(　　)

解答：（3）、（4）

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