1.2

Static Optimization：Inequality Constraints

        不等式约束最大化问题：

\max_xf(x)\qquad s.t.\quad g^j(x)\leq0,j=1,...,m

        构造拉格朗日函数：

\mathcal L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^m\lambda_jg^j(x)

        最优性条件（Kuhn-Tucker）：

（1）\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}=0,i=1,...,n；

（2）\lambda_j^*\geq0,g^j(x^*)\leq0,\lambda_j^*g^j(x^*)=0,j=1,...,m

        假定：f为凹函数，g^j为凸函数，约束条件满足，则存在(x^*,\lambda^*)满足Kuhn-Tucker条件，且x^*为原问题最大化点

Choice，Preference and Utility

        决策者选取x\in X\subset \mathbb{R}^n以最大化其效用函数u:X\rightarrow \mathbb{R}

    ①个人选择为经济的基础数据

    ②个人选择会揭示个人偏好

    ③效用与选择、偏好的数学结构一致


        弱偏好关系x\succeq y

        强偏好关系x\succ y\Leftrightarrow x\succeq y\;but\;not\;y\succeq x

        无差别关系x\sim y\Leftrightarrow x\succeq y\;and\;y\succeq x


        理性偏好\succeq：

    ①完备性：\forall x,y,either\;x\succeq y\;or\;y\succeq x

    ②传递性：\forall x,y,z,x\succeq y\;and\;y\succeq z\Rightarrow x\succeq z

        性质：

    ①\succ无反身性，有传递性

    ②\sim有反身性，传递性，对称性

    ③x\succ y\succeq z\Rightarrow x\succ z


        效用函数u:X\rightarrow\mathbb R代表偏好关系\succeq，若\forall x,y,x\succeq y\Leftrightarrow u(x)\geq u(y)

定理：

    ①若偏好关系\succeq可以被效用函数表示，则它是理性的

    ②若X可数，且偏好关系\succeq理性，则它可以被效用函数表示


        偏好关系\succeq连续，若下面其中一项成立：

    ①\forall x,y\in X\;with\;x\succ y,\exists \varepsilon>0，对\forall x^\prime\in B_\varepsilon(x),y^\prime\in B_\varepsilon(y)，有x^\prime \succ y^\prime

    ②\forall \{x_n,y_n\}_{n=1}^\infty\;with\;x_n\succeq y_n，记x=\lim x_n,y=\lim y_n，则x\succeq y

定理：

        若偏好关系\succeq理性且连续，则它可以被效用函数表示


        选择结构(\mathcal B,C)：

    ①选择集\mathcal B由元素B\subset X构成

    ②选择规则C定义在\mathcal B上，满足C(B)\subset B


        显示偏好弱公理（the weak axiom of revealed preference, WARP）：

\forall B,B^\prime\in\mathcal B\;and\;x,y\in B\cap B^\prime，有x\in C(B)\;and\; y\in C(B^\prime)\Rightarrow x\in C(B^\prime)


定义：

    ①给定偏好\succeq，有引致偏好C_\succeq(B)=\{x\in B:x\succeq y,\forall y\in B\}

    ②称理性偏好关系\succeq理性化选择结构(\mathcal B,C)，若C(B)=C_\succeq(B),\forall B\in\mathcal B

    ③选择结构(\mathcal B,C)的显示偏好关系\succeq^*满足：

x\succeq^* y\Leftrightarrow \exists B\in\mathcal B\;with\;x,y\in B\;and\;x\in C(B)

定理：

        给定选择结构(\mathcal B,C)和偏好关系\succeq，则

    ①若\succeq是理性的，则(B,C_\succeq)满足显示偏好弱公理

    ②若选择结构(\mathcal B,C)被偏好关系\succeq理性化，则x\succeq^*y\Leftrightarrow x\succeq y

定理：

        假定\mathcal B包含X中所有元素个数为2和3的子集

        如果选择结构(\mathcal B,C)满足显示弱偏好公理，则它可以被一个理性偏好理性化

        事实上，C(B)=C_{\succeq^*}(B),\forall B\in\mathcal B

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