Kolmogorov-Smirnov test (K-S 检验）

一.简介

Kolmogorov-Smirnov是比较一个累计分布（cumulative distribution function）函数f(x)与经验分布函数（empirical distribution function）g(x)二者的观测值偏差K-S statistic（检验统计量）是否在一定范围方法；如在一定范围，则原函数属于某一特定的概率分布。

累计分布（cumulative distribution function）：把所有的observation排序，得到y_{1}、y_{2}、......y_{n}，那么

F_{obs}(y_{i})=\frac{i}{n} ，其中n为样本个数，i为每个样本的值。

经验分布（empirical distribution function）：F_{exp}(y_{i})通过查表得到。

K-S statistic（检验统计量）：D_{n}=max(|F_{obs}(y)-F_{exp}(y)|)

二.实例

单样本实例

我们有10个数据点：

108， 112， 117， 130， 111， 131， 113， 113， 105， 128。我们想知道，这些点是否来自平均值是120，标准差是10的正态分布？120，10大致为本组数据的平均值与标准差。

1.排序

105， 108，111，112， 113， 113， 117， 128， 130， 131

2.计算累计分布和经验分布F_{exp}(查表得到)的差值

差值D_{n}的最大值是0.358。 从表格（见附录）中可以查出，在 α=0.10的时，critical value是0.37。因为0.358<0.37,所以这些点来自平均值是120，标准差是10的正态分布。

多样本实例

有以下两组样本：

X：1.2， 1.4， 1.9， 3.7， 4.4，4.8，9.7，17.3，21.1，28.4

Y：5.6，6.5，6.6，6.9，9.2，10.4，10.6，19.3

1.把两组样本合在一块。

2.进行排序。

3.计算计算累计分布和经验分布的差值。

这里 D_{n}=0.6

对于两样本，95%的critical value的计算公式为：

1.36也是查表得到的。

因为0.6<0.645，所以两组样本的分布一样。

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/292678346

https://zhuanlan.zhihu.com/p/146781665

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