骰子扔到6为止的期望次数

题目

假设一个标准的6面骰子，当投到6时停止，求以下两种条件下的期望投掷次数 $N$ ：

所有投掷序列中6在5之前出现（从未投到5）；
所有投掷序列的元素都是偶数。

情况1

定义条件“所有投掷序列中6在5之前出现（从未投到5）”为事件 $C$ ；定义每个序列开头数字为 $i$ 的情况为事件 $X_i$ 。根据贝叶斯定理，我们可以得到以下条件概率：

$\mathbb{P}(X_i|C) = \frac{\mathbb{P}(C|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} \left\{\begin{array} \\ \frac{\mathbb{P}(C)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} = \mathbb{P}(X_i)=\frac{1}{6}, &i\in\left\{ 1,2,3,4 \right\} \\ \\ \frac{\mathbb{P}(C|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} = \frac{0\times\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} = 0, &i=5\\ \\ \frac{\mathbb{P}(C|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} = \frac{1\times\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(C)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}, &i=6 \end{array}\right.$

其中：

$\mathbb{P}(X_i)=\frac{1}{6}$ 开头数字为任何数字的概率都相等；
$\mathbb{P}(C)=\frac{1}{2}$ 假设样本空间中所有可能出现的序列有 $n$ 种排列，那么根据对称性，其中6出现在5前面的序列数和5出现在6前面的序列数相等，所以无条件下事件 $C$ 出现的概率为 $\frac{1}{2}$ ；
$\mathbb{P}(C|X_5)=0$ 如果序列中第一个数字是5，那么条件 $C$ 不成立，所以条件概率为 $0$ ；
$\mathbb{P}(C|X_6)=1$ 如果序列中第一个数字为6，那么条件 $C$ 必然成立，所以条件概率为 $1$ 。

我们将题目所要求的条件期望投掷次数设为 $\mathbb{E}[N|C]$ 此时，我们可以按照开头数字 $X_i$ 为不同情况时对符合条件的序列构建一个马尔可夫链：

注意： 此时整个过程是条件于事件 $C$ 的，所以其中的转移概率都为 $\mathbb{P}(\cdot|C)$ 。

基于条件C的投掷过程，注意在条件概率的情况下初次投掷结果为5的概率为0

基于上述过程，我们可以得到以下关于 $\mathbb{E}[N|C]$ 的等式：

注意： 也可以直接看作一个几何分布 $\text{Geometric}\left(\frac{1}{3}\right)$ 并根据性质直接得到期望为 $3$ 。

$\begin{aligned} \mathbb{E}[N|C] &= \overset{i\in\{1,2,3,4\}}{\frac{4}{6}\left(\mathbb{E}[N|C] + 1\right)} + \overset{i=5}{0} + \overset{i=6}{\frac{1}{3}\times 1} \\ \\ \frac{1}{3} \mathbb{E}[N|C] &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \\ \\ \mathbb{E}[N|C] &= 3 &\hfill\square \end{aligned}$

所以条件期望投掷次数为 $3$ 。

情况2

假设序列中全部为偶数的情况为事件 $E$ （even）。

$\mathbb{P}(X_i|E) = \frac{\mathbb{P}(E|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} \left\{\begin{array} \\ \frac{\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} = \mathbb{P}(X_i)=\frac{1}{6}, &i\in\left\{ 2, 4 \right\} \\ \\ \frac{\mathbb{P}(E|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} = \frac{0\times\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} = 0, &i\in\{1,3,5\}\\ \\ \frac{\mathbb{P}(E|X_i)\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} = \frac{1\times\mathbb{P}(X_i)}{\mathbb{P}(E)} = \frac{1/6}{1/4} = \frac{2}{3}, &i=6 \end{array}\right.$

其中：

$\mathbb{P}(X_i)=\frac{1}{6}$ 开头数字为任何数字的概率都相等；
$\mathbb{P}(E)=\frac{1}{4}$ 我们将在下方单独讨论这种情况；
$\mathbb{P}(C|X_5)=0$ 如果序列中第一个数字是5，那么条件 $C$ 不成立，所以条件概率为 $0$ ；
$\mathbb{P}(C|X_6)=1$ 如果序列中第一个数字为6，那么条件 $C$ 必然成立，所以条件概率为 $1$ 。

计算 $\mathbb{P}(E)$ ，对于一个长度为 $k$ 的序列，事件 $E$ 出现的情况为序列前 $k-1$ 项都为偶数，最后一项为 $6$ ；我们可以利用全概率公式展开 $\mathbb{P}(E)$ 进行计算。设 $X$ 为单次投掷的结果，则：

$\begin{aligned} \mathbb{P}(E) &= \sum_{k=1}^\infty \mathbb{P}(X\in\{2,4\})^{k-1}\times\mathbb{P}(X=6) \\ \\ &= \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{2}{6}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{6}\right) \\ \\ &= \frac{1}{6}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{6}\right)^{k} \\ \\ &= \frac{1}{6}\times\frac{3}{2}, &\text{等比数列求和：$\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$} \\ \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$

类似于情况一，我们可以构建一个马尔可夫链，或直接识别出概率分布 $N|E\sim\text{Geometric}\left(\frac{2}{3}\right)$ ，并得到结果 $\mathbb{E}[N|E]=\frac{3}{2}$ 。

参考资料

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