《机器人学中的状态估计》（State Estimation for Robotics）—— 2.5习题答案

2.5 习题

1. 假设 $u$ , $v$ 是两个相同维度的列向量，请证明下面这个等式：

$u^Tv = tr(vu^T)$

证明：
$\because$ $u^Tv$ 是行向量*列向量的形式，因此其结果为标量。
$\therefore$ $u^Tv$ = $tr(u^Tv)$
$\therefore$ 我们可以转而证明 $tr(u^Tv)$ = $tr(vu^T)$
为了得到更一般的结论，我们证明 $tr(AB)$ = $tr(BA)$ ，其中 $A$ $\in$ $\mathbb{R}^{m \times n}$ ， $B$ $\in$ $\mathbb{R}^{n \times m}$ 。

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a_{1,1}} & {a_{1,2}} & {\cdots} & {a_{1, n}} \\ {a_{2,1}} & {a_{2,2}} & {\cdots} & {a_{2, n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{m, 1}} & {a_{m, 2}} & {\cdots} & {a_{m, n}}\end{array}\right]$ $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cccc}{b_{1,1}} & {b_{1,2}} & {\cdots} & {b_{1, m}} \\ {b_{2,1}} & {b_{2,2}} & {\cdots} & {b_{2, m}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {b_{n, 1}} & {b_{n, 2}} & {\cdots} & {b_{n, m}}\end{array}\right]$

$tr(BA) =\sum_{j=1}^{m}b_{1j}a_{j1} + \sum_{j=1}^{m}b_{2j}a_{j2} +\cdots + \sum_{j=1}^{m}b_{nj}a_{jn} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} b_{ij}a_{ji}$

$tr(AB) =\sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j1} + \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2} +\cdots + \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{jm} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji}$

$tr(AB) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} a_{ij}b_{ji} (交换求和次序) = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} b_{ji}a_{ij} (乘法交换律) \\ = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} b_{ij}a_{ji} = tr(BA) \\ (注：i与j只是变量名称，如果非想要完全一致可以进行简单的变量替换)$

$\because$ $u^Tv$ = $tr(u^Tv)$ ， $tr(u^Tv)$ = $tr(vu^T)$
$\therefore$ $u^Tv = tr(vu^T)$
证毕。

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