一、乘法的诞生

对于已经理解加减法算理，并能顺利解决100以内加减法运算的小牵牛们来说，他们已经做好了学习乘法的准备。儿童在日常生活中其实已经有意无意地在使用乘法的倍数观念解决问题：一对，两对，三对……但这样的计数过程在儿童眼中是实实在在的加法运算，他们还不能将他们看成一种新的运算的诞生。

和历史上的数学家一样，小牵牛们在花瓶与花朵的游戏中认识到了倍数这种新的神奇的数量关系之后，就产生了想要用数学符号表达的强烈欲望，但花瓶的数量与花朵的数量之间的倍数关系我们能用加减法表示吗？10＋2或10－2这两个算式都不符合实际情景，怎么办呢？看来我们得发明一种新的运算了。

这种新的运算叫什么名字，用怎样的符号表达都不重要，重要的是其中的数学量关系我们是否能够表达清楚。是的，数学没有”必须如此“这样规定，一切都是我们人类自己的发明，我们为我们的智慧而欢欣鼓舞，但绝不是为了成为前人思维的奴仆。所以，在牵牛教室，我们只有临时性共识，我们大家一起觉得这个符号“×”还不错，给它起个名字就叫“乘号”吧！把与它有关的运算就叫做乘法运算。

最重要的是通过这样发明创造的过程，孩子们可以清清楚楚地解释算式中每个数字的含义：10就表示有10个花瓶，2表示花朵的数量是花瓶的2倍或者说有2组这样的花瓶，20就是最后花朵的数量。这样学习的过程才是在儿童已有经验基础上的发明和创造。儿童并非知识的接受器。

二、乘法的含义

乘法被发明出来之后，我们就可以用棋子将乘法算式“摆”出来，在这个过程中小牵牛们会一边摆棋子一边伴随着语言的描述：3的1倍，3的2倍，3的3倍，3的4倍……而每一种倍数关系都对应着一个乘法算式。3的4倍就可以用3×4表示，那么3×4这个算式的结果又是多少呢？其实就是他们的动作操作过程：有4行棋子，每行有3颗，现在一共有多少颗棋子？那不就是3+3+3+3的结果吗？是的，乘法与加法密不可分，我们可以通过加法运算得到乘法的结果，但乘法绝不是加法的衍生品，在儿童脑海中它是以与加法完全不同的数量关系而存在。

接下来就是学习乘法口诀了吗？不，小牵牛们会在文字语言，图形语言，符号语言的转化过程中去进一步理解乘法与加法，减法之间的关系。

在棋子游戏中，孩子们发现乘法算式3×5和5×3对应的矩阵图完全一样，而且每一个乘法算式都对应着两种乘法含义：如果横着看就是5的3倍，如果竖着看那就是3的5倍。

这真的是一个重大发现，围绕乘法算式3×5或5×3，根据乘法的本质含义孩子们做出了本单元的第一幅章鱼图作品。如果我们将乘法算式理解成是3的5倍，那么3×5这个乘法算式就等于5个3相加，还可以等于4个3＋1个3，2个3＋3个3，当然还可以写成6个3减去1个3 ，7个3减去2个3……乘法算式可以写成乘法混合算式，或者乘减混合算式，乘法与加法加法都发生了联系。整个算式系统再儿童脑海中是一张紧密联系的网。

下面就可以学习乘法口诀了吗？不，这样好玩的游戏我们还远远没有玩够，下接下来的几节课中，我们会拿任意一道乘法算式玩这样的游戏。

7×2这个乘法算式该怎么理解呢？孩子们会结合乘法的本质含义给出自己的解释：7×2就是7的2倍，那不就是7的12倍减去7的2倍吗？还可以写成7的100倍减去7的98倍，还可以写成7的101倍减去7的99倍……结合文字语言的描述小牵牛们会创造出相应的符号语言，于是一位数乘三位数这样的乘法算式就出现在了二年级孩子的作品上，至于乘法算式的最终结果在孩子们看来好像并没有那么重要，他们为自己能够通过乘法这个秘密语言进行大胆的数学创造而兴奋不已。

老师为什么不能写一个乘加减混合算式呢？看乘法算式7×2又与2×12－2×4－3×2＋2×2发生了关系，仔细一样，2的12倍减去2的4倍减去2的3倍再加上2的2倍不就是2的7倍吗？没有计算结果的困扰，孩子们就会自由运用脑海中的加减乘运算观念做各种好玩的尝试，这样的“歪脑筋”真是动个不停。

在这样的数学创造过程中乘法的本质含义——倍数关系才会被儿童真正理解。

三、乘法观念的系统建构

仅仅停留在理解乘法的本质含义上，并不能帮助儿童用自己的乘法观念去处理与乘法有关的数量关系，孩子们还需要去系统建构乘法观念，让乘法可以成为自己解决问题的有利思维武器。

这次我们要一起玩的是跳格子游戏。2的一倍是2，2的两倍是4，2的三倍是6……换一种说法那就是1个2是2，2个2是4，3个2是6……如果再换一种说法那就是一二得二，二二得四，三二得六……

与2有关的乘法游戏我们可以这样玩，那么与3、4、5有关的乘法游戏当然也行，孩子们也可以在数轴上跳出来。一时想不出没关系，回头看看，发现数字与数字之间的关系。如果正着跳完腻了我们还可以倒着跳，如果倒着跳也没有深新奇感了，我们还可以绕圈跑着跳：两个相切的圆，一个上面有6颗棋子，一个上面有7颗棋子什么时候能碰面呢？

走圈的同学把握好节奏，外圈的同学记住走了几圈，哇！真的碰面了！我走了7的6倍，你走了6的7倍。啊！原来是因为7×6和6×7的结果一样，我们走过的步数也就一样，这样自然就碰面了。将游戏的过程记录下来，就是我们新的数学作品，仍然是三种语言的相互转化。

在本子上跳数轴我们又会有新发现：5的奇数倍结果的个位数字都是5，5的偶数倍结果的各位数字都是0。

到了更大数的乘法学习时，孩子们的乘法观念也变得更加强大，他们已经不再满足于简单的求出乘法算式的结果，而开始探索不同的乘法算式之间的关系，乘法口诀中的秘密。在学到9的乘法口诀时，牵牛们发现：与9有关的乘法运算的结果实在是太好玩了，每次个位上的数字都在减少一个1，而十位上的数字每次都在增加1个十。在孩子们看来＋9的过程其实就是在+10－1，而＋8的过程就是在＋10－2，＋7的过程就是＋10－3……如果发现了这一点，再去看乘法运算的结果，哇！8的乘法运算结果的个位数字果真每次都会减少2个，十位上的数字每次都会增加一个十，7的乘法运算，6的乘法运算果真也是如此。这真的算得上我们小牵牛教室的重大发现了，孩子们说快做成作品，向世界宣告我们的主权吧！

穿越完与9有关的乘法运算之后，我们做出了自己的乘法口诀表！

这是什么？你听说过汉字乘法表吗？小牵牛们竟然想到了要用汉字做一个乘法口诀表！“徐”这个字有10画，“一”正好是1画，徐×一就等于10，徐×丁就等于20，徐×小就等于30……这样一个汉字乘法表里藏着小牵牛每个小朋友的名字，当然还有小牵牛教室老大的名字哦！最后一个算式孩子们干脆把结果也换成了汉字：弘×辰=仙×深你知道它对应的是怎样的乘法算式吗？哈哈，乘法算式已经彻底被我们玩“坏”啦！

四：小牵牛教室的大创造

你以为故事就这样结束了吗？孩子们的世界是彩色的，他们的创造欲望也是无穷的。不知道，你是否发现了这样彩色矩阵图中所藏着的奥秘。

请千万不要仅仅夸赞我画得很美，细细欣赏，里面包含的数学思想也同样美丽。

这一切的创造一定离不开我头脑中乘法观念的不断强大。

这个不断创造的过程，使小牵牛有空间去发展我自己的数感，去理解他们所理解的乘法世界，去对一切既定的标准答案说：不！我有我自己的想法。

当然，小牵牛们还是最喜欢自己的章鱼图，看这个时候孩子们此刻制作的章鱼图多了什么？

是的，乘法运算的过程，我们不再是之前简单玩转乘法本质含义的小牵牛了，我们开始用自己的乘法观念解决问题，每一个乘法算式我已经能够写出他们的结果，乘法现在已经可以成为我解决问题的思维工具了。

在制作数字树的过程中，孩子们发现根本不需要计算，只要我们对乘法的本质含义理解到位，我们就可以做出不一样的枝干。

加法与减法之间是互逆的关系，那有没有一种运算与乘法运算正好也是互逆的关系呢？小牵牛们已经悄悄把这个答案藏到了数字树中。我们更期待二下与它的精彩碰面。