时域、频域采样定理

时域采样定理：
描述时域离散信号和模拟信号的关系；
$X({\rm{e}}^{j{\Omega}T})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{a}(j{\Omega}-jk\Omega_{s})$
$\Omega_{s}=2\pi F_s=\frac{2\pi}{T}$
$\omega=\Omega T$
$X({\rm {e}}^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{a}(j\frac{\omega -2\pi k}{T})$
采样频率要大于模拟信号最高频率的两倍，否则会在频域产生混叠现象。
即要求： $\Omega_s \ge 2f_c$

频域采样定理：
$x_{N}(n)=\widetilde{x}(n)R_{N}(n)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(n+iN)R_{N}(n)$
$X(z)$ 在单位圆上的 $N$ 点等间隔采样 $X(k)$ 的 $N$ 点 IDFT 是原序列 $x(n)$ 以 $N$ 为周期的周期延拓序列的主值序列。
如果序列 $x(n)$ 的长度为 $M$ ，则只有当频域采样点数 $N \ge M$ ，才有下式成立：
$x_{N}(n)={\rm IDFT}[X(k)]=x(n)$
即可由频域采样 $X(k)$ 恢复原序列 $x(n)$ ，否则产生时域混叠现象。

用DFT对连续信号进行谱分析:
$F=\frac{1}{T_{p}}=\frac{1}{NT}=\frac{F_{s}}{N}$
其中 $T_p=NT$ 是模拟信号截断的长度； $N$ 是采样点数； $F_s$ 为采样频率； $F$ 是频谱的采样间隔，称之为频率分辨率。
通过对连续信号进行采样并进行DFT再乘以 $T$ （采样间隔 $\frac{1}{F_s}$ ），近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期 $[0,F_s]$ 上的 $N$ 点等间隔采样。显然，采样间隔 $F$ 越小，离散谱越接近实际的连续谱。 $F_s >2f_c$ ，所以： $N>{\frac{2f_c}{F}}$ 。增加观察时间 $T_p$ 可以提高频率分辨率。
由于 $X(k)$ 看不到 $X_a(j\Omega)$ 全部频谱特征，而是只看到 $N$ 个离散采样点的谱线，这就是栅栏效应。
当 $X_a(t)$ 持续时间无限长，要对其进行截断处理，所以会产生所谓的截断效应，从而谱分析会产生误差。

栅栏效应： $N$ 点DFT是在频率区间 $[0,2\pi]$ 上对时域离散信号的频谱进行 $N$ 点等间隔采样，在采样点之间的频谱是看不到的，就好比在个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，可能会漏掉大的频谱分量。可以加大模拟信号的截断长度，增加频率分辨率来减少这种效应。可以在原序列后添0，在进行DFT。

截断效应：实际中的序列 $x(n)$ 看无限长，想要使用DFT对其进行谱分析，对信号进行截断后，会有以下两种影响：
（1）泄露：离散谱线会展宽，频谱模糊，分辨率降低。（主瓣）
（2）谱间干扰：主谱线两边会出现很多旁瓣，引起不同频率分量的干扰。（旁瓣）
可以通过增加窗函数长度 $N$ 使泄露减小，增加频率分辨率，但旁瓣不会改变；
通过改变窗函数形状进行缓慢截断，减小谱间干扰。二者往往矛盾存在。