高中数列之目：数列与三次函数综合

数列与三次函数综合

2013年理科数学全国卷二题16

等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，已知 S_{10}=0, S_{15}=25，则 n S_n 的最小值为 \underline{\mspace{100mu}} .

【解】

依题意可得：

\left\{ \begin{array}\\ 10\,a_1+45\,d=0\\ 15\,a_1+105\,d=25\\ \end{array}\right.

解得：a_1=-3,\;d=\dfrac{2}{3}

S_n=\dfrac{1}{3}n^2-\dfrac{10}{3}n

nS_n=\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{10}{3}n^2

令 g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{10}{3}x^2

g'(x)=x^2-\dfrac{20}{3}x=x(x-\dfrac{20}{3})

0 \lt x \lt \dfrac{20}{3},\; g'(x) \lt 0\;\Rightarrow g(x) \searrow

x \gt \dfrac{20}{3},\; g'(x) \gt 0\;\Rightarrow g(x) \nearrow

注意数列是特殊的函数，根据 g(x) 的单调性可以判断 nS_n 的单调性。

6\times S_n=\dfrac{1}{3}6^3-\dfrac{10}{3}6^2=-48

7\times S_7=\dfrac{1}{3}7^3-\dfrac{10}{3}7^2=-49

由此可知：当 n=7, nS_n 取得最小值 -49

【提炼与提高】

等差数列的和 S_n 对应一个二次函数，nS_n 对应一个三次函数。用求导数的方法解决这个三次函数的最值问题，是效率比较高的办法。假如用作差的方法也是可以的，但效率较低。

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