定积分及其应用
要点：
性质 计算 应用
1定积分的定义
定积分在不定积分的基础上加了上限和下限，其值等于上限积分值减去下限积分值。
2定积分的性质
A
当上限和下限一样的时候，定积分的值为0
B
Sa^^b 1dx=Sa^^b dx=b-a(笔记^^代表后面的在上面)
C
遵循拆分法则
D
f(x)为奇函数，在[-a,a]上对称，则S-a^^a f(x)dx=0
E
f(x)=<g(x),则Sa^^b f(x)dx =< Sa^^b g(x)dx
例1：定积分的性质
S-2Π^^2Π （x^3cosx+x）dx=___
解：
参考性质C：拆分开来,可转变为：
S-2Π^^2Π x^3cosx dx - S-2Π^^2Π x dx
之后，参考性质D
可得x^3cosx，x均为奇函数
即式子=0-0=0
例二：定积分的运算
一 求不定积分
二代入上下限
三化简
公式表
eg1.（凑微分）求S Π/3^^Π sin（x+Π/3）dx
解：
将dx转化成d（x+Π/3)之后参照公式，将sin转化成cos，
再将上下限分别代入计算即可，答案为0
eg2.(分步积分)S1^^e xlnx dx
解：
参考公式：Suv'dx=Sudv=uv-Svdu
所以式子可以化为S1^^e lnx dx^2 * 1/2
式子=1/2*( x^2 lnx|1^^e - S1^^e x^2 d(ln x) )
=1/2*(x^2 ln x|1^^e -1/2 x^2|1^^e)
=1/4* e^2 +1/4
例三：定积分的应用
步骤：
1画图
2求微元的面积（一般为小长方形）
3积分
eg1：计算由 y^2 = x, y = x^2,所围成的图形的面积
解：
dA = (根号下x - x )dx
S = S0^^1 (根号下x - x ) dx
= [2/3 * x^ 3/2 - 1/3 * x^3 ]0^^1
= 1/3
eg2: 计算抛物线 y^2 = 2x 与直线 y = x - 4,所围成的面积
解：
全部转化成x = 1/2 * y^2 ; x = y+4
dA = (-1/2 y^2 +y + 4)dy
S = S-2^^4 (-1/2 y^2+y+4)dy
= [-1/6 y^3+1/2y^2+4y]-2^^4
= 18
eg3：连接原点以及P（1，2）的直线，直线 x = 2 ，以及 x轴围成的图形 ，绕x轴旋转形成的圆锥体的体积
解：
直线的方程为 y=1/2 x
dv = Π r^2 h =Π*（1/2 x）^2 dx = 1/4 Π x^2 dx
V = S0^^2 1/4 Π x^2 dx = 2Π/3
