QQ-plot图
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QQ plot的全称是Quantile-Quantile Plot，即分位数-分位数图。这个图形的形式非常简单，有点类似RNA-seq中评价两个样本相关性的散点图（图1）。这类图形为什么那么相似呢？因为它们本质上就是做两组数据的比较，判断它们是否基本一致。以样本重复性散点图为例（图1b），如果某个基因的表达量在样本C1和C2两个生物学重复中相同或相近，那么这个基因在这个散点图中X和Y轴坐标应该是相同或相近的，即这个点应该位于这个图形的45°对角线上。如果大部分基因（红点）位于对角线上，说明这两组值基本一致，即两个样本的重复性良好。
那么QQ plot到底是做什么比较呢？它比较的是P value观测值（Y轴）和p value期望值的一致性，在GWAS分析的文献中几乎总是和曼哈顿图同时出现。什么是P value期望值，还需要从统计学讲起。
（1）P value的期望值分布
在统计检验中，P value代表的是我们观测值偏离期望值的概率。例如，假设观测值符合标准正态分布（即期望值为0，方差为1），那么我们观测值≥1的概率是多少？应该是15.9%。这就是标准正态分布下的离群概率。当我们观测次数越大，出现极端观测值（偏离期望值更加剧烈）的概率也越大。例如，在标准正态分布下，观测值≥3的概率约为0.14%（概率更小，需要更多的观测次数才易于出现）。
换个直观的说法就是：如果真实值是0，我们观测的时候总会有一定的概率犯错。而且检测次数多了，就越可能观测到偏离真实值非常离谱的数值。如果观测1000次，那应该会获得1000个观测值，那么这些观测值的分布就应该符合图2的正态分布。
如果这1000个观测值符合正态分布，那么这1000个观测值对应的离群概率（p value）符合什么分布呢？应该符合均匀分布（Uniform Distribution），即P value分布在0~1之间的各个区段的概率是相同的。如图3，P value在0~0.1和0.9~1都是100次，概率是相同的。
实际上，对于大部分统计方法，P value应该都符合以上的均匀分布。即，如果我们的数值符合某一种统计模型，那么当我们统计若干次后，得到的P value的分布是可以预期的，其应该符合均匀分布——这就是P value的期望分布。
（2）QQ plot的图形解读
如同上文我们提到的，QQ plot也是两组数值的比较。这两组数值分布是期望的P value和观测到的P value。如果我们的统计模型正确，两组P value值应该是一致的。那么，两组值（取-log10）从小到大排列后绘制在散点图上，所有点应该位于45°对角线上——这与RNA-seq的重复性散点图是相似的。所以QQ plot的直观解读就是：判断图形中点的分布是否合理（是否位于对角线上），进而推断目前的统计模型获得的P 值是否符合期望值以及统计模型是否合理。
那么QQ-plot在GWAS分析结果中有什么应用呢？下面我们举几个例子来解释这个问题。
图4中的四种QQ plot涵盖了GWAS 分析结果中常见的结果，我们分别来一一解读。
图4（a）中，p value观察值和期望值相同，说明分析模型是合理的。但所有的P value观测值都没有明显超过期望值，说明分析结果没有找到（与性状）显著关联的位点，可能原因包括：性状由微效多基因控制，效应太弱；群体大小不够等，这里先不展开详述。
图4（b）是我们最期望看到的结果类型。在散点图的左下角是显著性低的位点，即确定与性状不关联的位点，这些位点的P value观测值应该与期望值一致。而图中这些点的确位于对角线上，说明分析模型是合理的。而在图形的右上角则是显著性较高的位点，是潜在与性状相关的候选位点。这些点位于对角线的上方，即位点的P value观测值超过了期望值，说明这些位点的效应超过了随机效应，进而说明这些位点是与性状显著相关的。小结了一下：这个图形的左下角说明了模型的合理性，右上角则说明找了关联位点，所以这是最理想的结果。（备注：在有显著关联位点的情况下，结合曼哈顿图进行展示，会更加醒目）
图4（c）是大部分点位于对角线的下方，则说明大部分位点的P value观察值小于期望值。主要原因包括两种情况：（1）模型不合理，P value被过度校正，导致P value显著性过低；（2）群体中大量SNP位点间存在连锁不平衡，有效位点数（相互间不存在连锁不平衡的位点）明显低于实际位点数，所以P value的期望值被低估了（即期望值的-log10（P value）被高估了），也会出现这种情况。
图4（d），则相反：大部分点位于对角线的上方，则说明大部分位点的P value观察值超过期望值。按照统计学的逻辑推导，就是大部分位点与某个性状显著相关。这显然是不符合生物学逻辑的，那么这只有一种可能：分析模型不合理，数据的假阳性过大，P value观测值的显著性被高估了。
凡是出现图4（c）和图4（d）的情况，则需要检查分析模型是否有问题，群体中是否有某些干扰因素没被考虑到分析模型中（例如，群体结构、系谱关系、性别等），在重建分析模型后重新分析。
在某些文章中，会将各种模型的分析结果的P value画在一张QQ plot中，然后比较哪种模型更加合理。例如图5（a）的QQ plot中，我们可以推断：K模型和Q+K模型是合理的，但GLM和Q模型则存在过于严重的假阳性。
