强烈安利

线性代数本质

系列课程，第一次晓得这个是本科导师推荐的，当时告诉老师，自己高等代数没有怎么学明白，学完了也不知道到底在搞些什么东西，老师就推荐了这一系列课程，当时听了就有一种醍醐灌顶的感觉，感触最深的地方是，原来行列式的意义是酱紫的。
但是呢，由于本人记忆力不太好，很多当时相当有感触的东西，要是不回头看一看，现在能够想起来的少之又少，所以再刷一遍视频，并记录下来。

0.序

几何本质帮助你理解何时使用这些工具，感受到它们为什么有用以及如何解读最终结果，数值水平让你顺利使用这里工具。
如果在学习线性代数时，没有几何上的直观理解作为坚实基础，那么就会在做工作的时候一脸懵逼。

一、向量的本质

三个视角：

物理专业学生：一定方向和长度的箭头，可以自由移动一个向量保持它不变。
计算机专业学生：向量 $\Leftarrow\Rightarrow$ 数字列表
数学专业学生：向量可以是任何事物，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

加法的意义：如 $[a,b]^T$ 表示点从原点出发沿x轴正轴移动a，沿y轴正轴移动b那么 $[a,b]^T+[c,d]^T$ 可以先考虑完x轴移动再考虑y轴移动，于是我们得到 $[a+c,b+d]^T$
数乘的意义：缩放。

线性代数并不局限于某一个视角，而是在这些视角上相互转化。而线性代数本身给了计算机一个操纵空间的工具，这就很强大了。

二、线性组合、张成的空间与基

"Mathematics requires a small dose,not of genius,but of an imaginative freedom which,in a larger dose,which be insanity."------Angus K.Rodgers
$[a,b]^T$ 可以理解为将基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 分别缩放 $a,b$ 倍以后相加的结果。

三、矩阵与线性变换

"Unfortunately,no one can be told what the Matrix is.You have to see it for yourself."------Morpheus
为何使用变换一词，而不是沿用函数，这并非故意困扰你，而是提示你这个过程是向量在运动。
所谓的线性：

直线变换以后仍为直线
原点不动
考虑线性变换 $\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\\end{array}\right]$ 视 $\left[\begin{array}{c} a\\ c\end{array}\right]$ 为第一个基的落脚点 $\left[\begin{array}{c} b\\ d\end{array}\right]$ 为第二个基的落脚点，作用于向量 $\left[\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right]$ 即为 $x\left[\begin{array}{c} a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c} b\\ d\end{array}\right]$
而旋转变换就可以视为基向量的旋转： $\left[\begin{array}{cc} cos\theta&cos(\theta+\frac{\pi}{2})\\ sin(\theta)&sin(\theta+\frac{\pi}{2})\end{array}\right]$
剪切(Sheer)变换： $\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}\right]$

四、矩阵乘法与线性变换复合

"It's my experience that proofs involving matrices can be shortened by 50% if one throws the matrices out."------Emil Artin
用几何意义思考易知一般 $M_1M_2\not= M_2M_1$ 结合律 $(AB)C=A(BC)$