功 - 简书

功

可能用到的符号

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知识点

功的定义与作用
- 功：力在空间上的累积效应
- $W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{B}F(s)cos\theta (s)ds$
  微元过程: $dW=Fcos\theta (x)dx$
  $W=\int_{初态}^{末态}Fcos\theta(x)\cdot dx$
恒力的功
- $W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\vec{F}\cdot\int_{A}^{B}d\vec{r}=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$
变力的功
- 直接积分法
- 动能定理法
- 建模积分法
  - 1.指名一个元过程
    2.写出元功表达式，其中力 $F$ 和角度 $\theta$ 可能都是位置的函数
    3.对元功进行定积分

例题

例1. 恒力与位移同向
某物体，收到沿着 $x$ 轴的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $W=F\cdot\Delta {x}=50$

例2. 恒力与位移同向有固定夹角
某物体，收到沿着 $x$ 轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $W=F\cdot\Delta {x}cos\theta$

例3. 变力：大小不变，夹角 $\theta$ 随位移变化
某物体，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它与 $x$ 轴的夹角 $\theta(x)=x$ 。在该力作用下，物体从坐标原点沿着 $x$ 轴正向移动到 $x=5$ ，则该力做功为( )

解答： $W=\int_{0}^{5}Fcosx dx=\int_{0}^{5}10cosx dx$
$W=10sinx|_0^5=10sin5$

例4. 变力：方向不变，大小 $F$ 随位移变化
某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为( )

解答： $W=\int_{0}^{10}(4+2x)cos0 dx$
$W=\int_{0}^{10}(4+2x)dx=[x^2+4x]_0^{10}=140J$

例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为( ).

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ?
错误;应该是 $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dt$
过程太复杂，直接用动能定理求解更方便：
$W=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=50m$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答： $\vec{v}=5\vec{i}+2t\ \vec{j}$
$v=\sqrt{25+4t^2}$
当 $t=2$ 时， $v_1=\sqrt{41}$
当 $t=4$ 时， $v_2=\sqrt{89}$
由动能定理得： $W=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=48J$

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=1$ 的质点在力 $\vec{F}=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。(动量定理）

解答：由动量定理 $Ft=m\Delta v$ 得：
$\Delta v=\frac{Ft}{m}$
因为 $\vec{F}=2t\ \vec{i}$ 所以 $F=2t$ 带入得：
$\Delta v=\frac{2t^2}{m}=v_1-v_0$ $v_0= 0$
当 $t=3$ 时， $v_1=\frac{18}{1}=18m/s$
最后由动能定理得： $W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2=162J$

作业
质量 $m=2$ 的物体沿 $x$ 轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小( )。(动能定理）

解答： $W=\int_{0}^{4}Fcos\theta dx=\int_{0}^{4}(1+2x)dx$
$W=[x^2+x]_0^4=20J$
再由动能定理： $W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
得： $v_1=5m/s$

例6. 建模积分法
一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )