离散时间周期信号傅里叶级数

离散复指数信号的重复性

由于 $e^{j(w_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{jw_0n}=e^{jw_0n}$ ，所以具有频率 $w_0$ 和 $w_0\pm2\pi, w_0\pm4\pi,...w_0\pm2k\pi$ 的复指数信号完全一致

离散复指数信号的周期性

由于离散信号仅在整数点有值，要使 $e^{jw_0n}$ 为周期信号，周期N必须为波形周期的整数倍，即 $N=m\frac{2\pi}{w_0}, m=1,2,...$ ，此时的基波频率 $w = \frac{w_0}{m}$ ， $w_0=\frac mN 2\pi$

离散复指数信号的谐波

考虑一组成谐波关系的周期离散信号，其公共周期为N，基波频率为 $\frac{2\pi}{N}$
$\phi_k[n] = e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, k=0, \pm1, ...$
考虑离散复指数信号的重复性，
$\phi_{k+N}[n] = e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{j2\pi n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}=\phi_k[n]$

离散周期信号傅里叶级数

考虑一个周期为N的离散周期信号，用谐波的线性组合来表示
$x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}$
两边各乘 $e^{-jr\frac{2\pi}{N}n}$ ，在周期内求和得到：
$\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{k=<N>}a_k\sum_{n=<N>}e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}$
由于 $e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=\left\{ \begin{aligned} N && r = k, k\pm N, k\pm 2N,...\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.$
$a_k = a_{k\pm N} = ... = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$

${\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}$

numpy.fft

可以使用numpy.fft求傅里叶级数，但是要注意求和周期是从0开始，并且没有 $\frac 1N$ 系数。在求傅里叶级数时，仅需要输入一个周期的信号。
$a_k = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}, k = 0, 1, ..., n-1$

例1：求信号 $x[n]=cos(w_0n)$ 的傅里叶级数
仅当 $\frac{2\pi}{w_0}=\frac Nm$ 为一有理数时，信号才是周期信号。
$x[n] = \frac 12 (e^{j\frac{2\pi m}{N}n} + e^{-j\frac{2\pi m}{N}n})$ ，所以 $a_m = a_{-m} = \frac 12$
使用numpy.fft求解：

image.png
例2：求周期为N的方波信号的傅里叶级数
在一个周期内， $-N1 \leq n \leq N1$ 内， $x[n]=1$
求得一个周期内的系数：
$a_0 = \frac{2N1+1}{N}$
$a_k = \frac 1N \frac{sin[2\pi k(N1+\frac 12)/N]}{sin(\pi k/N)}$

image.png

使用numpy.fft求解：
若定义 $0\leq n < 2N1 + 1$ 时， $x[n]=1$ ，此时相当于上面输入右移了3，可以使用傅里叶级数的时移性质来还原：
$x[n - n_0] => a_ke^{-jk\frac{2\pi}{N}n_0}$

image.png

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 203,937评论 6赞 478
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,503评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 150,712评论 0赞 337
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,668评论 1赞 276
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,677评论 5赞 366
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,601评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,975评论 3赞 396
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,637评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,881评论 1赞 298
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,621评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,710评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,387评论 4赞 319
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,971评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,947评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,189评论 1赞 260
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 44,805评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,449评论 2赞 342