Woodbury矩阵恒等式证明及推论

Woodbury矩阵恒等式又称矩阵求逆引理，由该引理可以证明push-through矩阵恒等式、Sherman-Morrison 定理等，下面给出Woodbury矩阵恒等式的具体形式。

     {(A + BCD)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}D{A^{ - 1}}

其中，{(A + BCD)^{ - 1}}、A、C、{C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B可逆，为了方便，我们设A是m \times m、B是m \times n、C是n \times n、D是n \times m。

下面给出证明：

首先考虑{A + BCD}，我们将右乘{A^{ - 1}},有：

                    (A + BCD){A^{ - 1}} = I + BCD{A^{ - 1}}

为了和右式的{C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B建立联系，我们右乘B，有：

                 (I + BCD{A^{ - 1}})B = B + BCD{A^{ - 1}}B

由于C可逆，所以：

              (A + BCD){A^{ - 1}}B = BC({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)

由于{C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B可逆，所以：

            BC = (A + BCD){A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}

为了与Woodbury恒等式的左边相联系，同时发现右边的一项右乘了DA^{-1}，自然的想法就是，我们将BC配成A+BCD，有：

    A+BCD = A+(A + BCD){A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}D

再右乘A^{-1}，就出现了等式右边的那一项：

(A + BCD){A^{ - 1}} = I + (A + BCD){A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}D{A^{ - 1}}

现在就很显然了，为了匹配右边的那一项，我们肯定要左乘(A+BCD)^{-1}，于是有：

      {A^{ - 1}} = {(A + BCD)^{ - 1}} + {A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}D{A^{ - 1}}

移项即可，有：

       {(A + BCD)^{ - 1}}= {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}B{({C^{ - 1}} + D{A^{ - 1}}B)^{ - 1}}D{A^{ - 1}}

证明完毕。

一个简单的记忆和推导方式

只要清楚(A+BCD)^{-1}的逆是A^{-1}+X的形式，通过解关于X的方程即可推出Woodbury矩阵恒等式。下面给出某博主的求解思路：

矩阵求逆引理（matrix inversion lemma)冬瓜班小朋友的博客-CSDN博客矩阵求逆引理

特殊情形

● 当A和C是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：

               {(I + BD)^{ - 1}} = I - B{(I + DB)^{ - 1}}D

这个等式可以让我们联想到:
         {(I + P)^{ - 1}} = I - P{(I + P)^{ - 1}} = I - {(I + P)^{ - 1}}P

以及push-through等式：

                   {(I + BD)^{ - 1}}B = B{(I + DB)^{ - 1}}

关于这个不等式的证明只需左乘I+BD,提取公因式，化简即可。当然Woodbury矩阵恒等式也可以通过这两个等式配凑得到。

● 当B和D是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：

          {(A + C)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}}

化简可以得到：

               {(A + C)^{ - 1}} = {C^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}}

证明思路是将右边第二项的A^{-1}凑成-C^{-1}+C^{-1}+A^{-1}，两边展开化简，即可得到。

推论

● Sherman-Morrison 定理（秩1校正定理）
设A \in {R^n}可逆，向量u,v \in {R^n}，若1 + {v^T}{A^{ - 1}}u \ne 0，则秩一校正矩阵为A + u{v^T}可逆，其逆矩阵为：
                {(A + u{v^T})^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - \frac{{{A^{ - 1}}u{v^T}{A^{ - 1}}}}{{1 + {v^T}{A^{ - 1}}u}}

关于这个定理的推广，可见这两篇文章：

秩一校正定理 - 知乎 (zhihu.com)

Sherman-Morrison公式及其应用_山阴少年-CSDN博客

● 拟牛顿法，见这位博主写的文章：

Sherman-Morrison-Woodburg 定理_Liang_Ling的博客-CSDN博客

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