直方图均衡化-数学概念一

为什么使用累积分布能够使分布均匀化

考虑连续值的情况：
假设已经随机变量X，以及其概率密度P(X)。
已经转化函数 $Y=F(x)=\intop_{-\infty}^{x}P(r)dr$
现在需要求Y的分布函数
即 $P(Y<S)=P(F(x)<S)$
因为F(x)是单调递增的，假设 $F(x_0)=\intop_{-\infty}^{x_0}P(r)dr=S$ ，则 $x\in \{-\infty,x_0\}$ ，而概率 $P(F(x)<S)=P(x\in\{-\infty,x_0\})=\intop_{-\infty}^{x_0}P(r)dr=S$
所以有 $P(Y<S)=P(F(x)<S)=S$
概率密度则为上式求导 $P(Y)=1$ ，所以变成了均匀分布。

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