上周上课，学生问我一题：
求
的值
这题我必须承认，如果要我一眼看出来，我肯定是无能为力的，最近对于这道题，也没有什么印象。如果说做过这题，也是我上高中的时候，差不多十年前的事了，早就记不得了。所以我就动了一下手，先试试看。（做题首先肯定要抱着一个”试“的心态的，也不能预期太高，即使很简单的题，也要防止阴沟翻船）
首先看到这个式子后，第一步的思路肯定是切割化弦，看到这种切割混杂的式子，切割化弦就像条件反射一样。然后简单的变形之后，得到下面的结果：
然后观察这个式子，首先注意到的是：
看到这种式子，第一反应当然是二倍角公式。再仔细看看这个式子，别的地方好像也没有什么可以下手之处了。那么就先用二倍角公式化简看看，如果没有明确的思路，解题的时候首先想到的自然就是看到可以下手的地方，先试试看。然后就得到下面这个式子：
化简到这里，问题出现了。
上面这个式子是一个三角函数求和的式子，对照已经学过的公式，很自然的想到但是呢，sin40°前面有个系数2，所以不能用和差化积公式处理。同时，20°角和40°角的角度也不一样，那么辅助角公式自然也不可行。接下来该怎么办？
那么还是回到题目式子本身，在思路断绝的时候，就要对式子做进一步更细致的观察，看看有没有新的条件，或者突破点，可以挖掘得到：
这道题其实还有一个重要的特征，三角函数式子这种题一般有两种，一种是纯粹的式子化简，比如(sinx+cosy)...tan(a+b)这种的，角度全部用一般的变量（字母）表示；还有一种是有具体角度的，这道题就是很典型的例子，题中直接给出了20°角，这是一个之前没有用过的条件。虽然有的时候，题中就算给出了特定角度，也不一定非要通过特定角度来解题。但是在绝大多数情况下，给出的角度，在解题中还是一定要用到的，这种出题方式也符合人的逻辑。尤其是像这道题，出现的角度都是20°，还是一个整数，就更有一种”瓜田李下“的感觉了。
那么现在就从角度上挖掘一下，看能不能找出某种信息：
一般这种带角度的题，突破口都在什么地方呢？
1.角的和：比如说75°=45°+30°，用两个特殊角组合成一个一般角
2.角的差：比如说15°=45°-30°
3.角的等分：比如说15°=30°/2（明显），18°=90°/5，36°=180°/5（不明显，看到一些不”整“的角度时，可以往这个方向联想）
4.互余互补：比如说10°+80°=90°，20°+70°=90°，有互余互补关系之后，就可以利用诱导公式把三角函数互相转化，尤其是互余关系，可以转化不同名不同角的三角函数，比如sin40°和cos50°，不同名不同角，但其实是一个东西。很多时候这是一个常常被忽略的隐含条件，那么我们的应对思路就是：没思路的时候可以考虑先把余角写出来看看。
那么接着观察上面这个式子，看看角度之间都有什么关系：
首先把涉及到的角度全都写出来：20°，40°，这显然没有什么可利用的，那就还需要补充信息，接着想，找更多的信息
下一步，最简单的肯定是，再把它们余角写出来，70°，50°
那么现在就有了四个可以考虑的角度：20°，40°，50°，70°
首先确定一点，都不是特殊角，肯定没法直接处理。涉及到具体的角的问题的时候，99%的时候，都要转化为特殊角，或者至少跟特殊角发生某种联系，才能处理。
那么再观察有没有求和或者做差或者等分能出现特殊角的情况？
求和：20°+40°=60°，别的好像是不行（20°+50°=70°，40°+70°=110°，和等于90°的本身就是自己制造的）
做差：70°-40°=30°，50°-20°=30°
等分，一般就是除1、2、3、4、5、6，试了一下，都不行。
那么现在就从这两个角度去考虑了。先看求和：
按照求和的式子，肯定是把40°拆成60°-20°了，得到下面这个式子：
看到这个式子，想法当然是用差角公式展开sin(60°-20°），得到：
然后肯定是把特殊角60°的三角函数换成数值，得到：
简单化简一下，就得到了答案，
上面写的基本上就是我解这道题的过程，有点繁琐，实际上没有那么精细，但答题的思路和过程都是一致的。供各位参考。
最后，还是回到这篇文章的标题：要训练对数和式子的敏感度。这虽然是一道小题，但是里面涉及了一些式子的变形技巧和一些公式的使用（切割化弦，二倍角公式等），而最初正确选择的前提，就是熟练掌握i这些公式，看到了就能马上联想到这些基础知识和基本技巧，这就要求在平时学习的时候，对这些式子和常见的变形要烂熟于胸，做到不假思索，脱口而出的程度。后面处理角度的技巧，也是三角函数化简的重要技巧，特殊角、拆分角都是十分常见且重要的技巧，都要在头脑中形成”概念“和”意识“，看到题中出现，马上想到常用的几个处理方法。如果没有这种”敏感度“，在解题中就很容易出现找不到思路，觉得无从下手的现象。
在具体题目的处理上，主要就是要有运用基础知识和基本技巧的意识，仔细观察题目，不放过任何一个细节，尽最大努力挖掘题中信息，把题目”吃干榨尽“，尤其是题目中出现的”数“和式子的形态。而对挖掘到的信息，要尽可能地和基础知识和基本技巧联系到一起，建立起题目和基础知识和基本技巧之间的桥梁，一步一步走下去，最后就会得到正确的答案。
最后，当然就是总结，题目用了什么基础知识，题目本身有什么特点，解题的时候突破点是什么，用了什么技巧，都要总结到位，对于不会的题目还要反复做，反复看，才能够真正达到训练的目的。
