整数拆分 - 简书

LeetCode 343. 整数拆分
题目描述
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

题目分析

我最先想到的是将其看做组合问题，采用回溯法解决，可惜运行到21的时候就超时了。看了题解之后，恍然大悟，动态规划才是正解。
转态：n个正整数
选择：是否继续拆分整数
- 当整数i被拆分为k与i-k时，我们有两种选择：1. $k*(i-k)$ 就是整数i的最大乘积。2.将整数 $i-k$ 继续拆分，选择其中的最大乘积与k相乘。
dp数组定义： $dp[i]$ 表示整数i拆分后的最大乘积。
状态转移：整数i的最大乘积取决于 $dp[i] = max(k*(i-k), k*dp[i-k])$ ,因为k的取值范围是[1,i-1]，所以状态转移方程是 $dp[i] = max(dp[i],max(k*(i-k),k*dp[i-k])$
边界条件： $dp[1] = 0$
代码实现(C++)

int integerBreak(int n){
        vector<int>dp(n+1,0);
        if (n <= 2) return 1;
        dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;
        for (int i=2; i<=n; i++){
            for (int j=1; j<i; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i-j), j * dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }