大物 十二讲 张云恺 转动

转动定律

知识点
  • 类比法理解牛顿第二定律和转动定律
  • 单个刚体的转动
  • 转动、平动组合体：
    • 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
    • 对平动的物件(记为i)按照牛顿第二定律F_{i}=m_{i}a_{i}列方程；
    • 对转动的物件(记为j)按照转动定律M_{j}=I_{j}\alpha_{j}列方程；
    • 根据约束条件列方程。
表达题
  • 转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}，a=\frac{F}{m}，那么转动定律的公式是

解答：\frac{d\vec{M}}{dr}=\vec{F},\alpha=\frac{M}{J},\alpha是角加速度

  • 均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？
    上题图.png

解答：
\alpha=\frac{M}{J}=\frac{\frac{l}{2}mg\cos\theta}{\frac{1}{3}m(\frac{1}{2}l)^2}=\frac{6g\cos\theta}{l}

  • 重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为\frac{1}{2}MR^{2}。今两端的拉力分别为T_{1}和T_{2}，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答：
合外力F=|T_1-T_2|,\alpha=\frac{M_*}{J}=\frac{RF}{\frac{1}{2}MR^2}=\frac{2|T_1-T_2|}{MR}

  • 一质量为m的小球以v_{0}的速率沿x轴前进，在恒定的摩擦力的作用下，\Delta t时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为(\color{red}{\frac{mv_0}{\Delta{t}}})。一飞轮以\omega_{0}的转速旋转，转动惯量为I，现加一恒定的制动力矩使飞轮在\Delta t时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为

解答：
\omega_{0}=\alpha\Delta{t}
M=\alpha{I}
则力矩M=\frac{\omega_{0}I}{\Delta{t}}

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101005.png

    则对M列方程，有如下可能的方程

    (1) FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha

    (2) FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha

    对m列方程，有如下列法

    (3) T-mg=m\cdot a

    (4) mg-T=m\cdot a

    对约束方程，有如下列法

    (5) a=R\alpha

    (6) a=R\alpha^{2}

    以上正确的是

解答：1,3,5

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101006.png

    则对M列方程：

    T_1-T_2=\frac{1}{2}MR^2\cdot\alpha

    对m_{1}​列方程：

    m_1g-T_1=m_1\cdot{a}

    对m_{2}列方程：

    T_2-m_2=m_2\cdot{a}

    约束方程：

    a=\alpha{R}

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101007.png

    则对M_{1}列方程，有如下可能的方程

    T_1-T_2=\frac{1}{2}MR_1^2\cdot\alpha_1

    对M_{2}​列方程，有如下可能的方程

    T_2-T_3=\frac{1}{2}MR_2^2\cdot\alpha_2

    对m_{3}列方程，有如下列法

    m_3-T_1=m_{3}a_{3}

    对m_{4}列方程，有如下列法

    T_3-m_4=m_4{}a_{4}

    对约束方程，有如下列法

    a_3=a_4=R_1\alpha_1=R_2\alpha_2

  • 图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

    Fig101008.png

    则对M列方程，有如下可能的方程

    T_2-T_1=\frac{1}{2}MR^2\cdot\alpha

    则对M_{1}列方程，有如下可能的方程

    T_1-\mu{m_{1}g}=m_1a

    对M_{2}​列方程，有如下可能的方程

    m_2-T_2=m_2a

    对约束方程，有如下列法

    a=R\alpha
    ​

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