数列极限的性质

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数列极限的基本性质

极限的唯一性

收敛数列的极限必是唯一的.

证明：
假设 $\{x_n\}$ 有极限 $a,b$ ，根据极限定义 $\forall \varepsilon>0$
$\begin{array}{l} \exists N_{1}, \forall n>N_{1}:\left|x_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2} \\ \exists N_{2}, \forall n>N_{2}:\left|x_{n}-b\right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{array}$
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ ，则当 $n > N$ 时，上述两个不等式同时成立.于是由三角不等式有 $\begin{aligned} |a-b| &=\left|a-x_{n}+x_{n}-b\right| \\ &\leqslant \left|x_{n}-a\right|+\left|x_{n}-b\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}$ 由 $\varepsilon$ 的任意性知 $a = b$ .

收敛的必要条件

收敛数列必有界

证明：
设 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ，根据极限定义，对 $\varepsilon=1, \exists N, \forall n>N:\left|x_{n}-a\right|<1$ 即 $a-1 < x_n < a+1$ 取 $M=\max \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}, a+1\right\}, m=\min \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}, a-1\right\}$ ，则对 $\{x_n\}$ 所有项都满足 $m \leqslant x_{n} \leqslant M$ ，因此 $\{x_n\}$ 有界。
注：该定理的逆命题不成立，即有界数列未必收敛.例如， $\left\{(-1)^{n}\right\}$

保序性

若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，且 $a < b$ ，则存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，成立 $a_{n} < b_{n}$

证明：
取 $\varepsilon=\frac{b-a}{2}>0 .$ 由 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \exists N_{1}, \forall n > N_{1}: \left|a_{n}-a\right| < \frac{b-a}{2},$ 因而 $a_{n} < a + \frac{b-a} {2} = \frac{a+b} {2}$
而由 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b, \exists N_{2}, \forall n>N_{2}:\left|b_{n}-b\right|<\frac{b-a}{2},$ 因而 $b_{n}>b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\},$ 则 $\forall n>N,$ 有 $a_{n}<\frac{a+b}{2} < b_n$

推论1. 保号性

设数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ,则对任何 $a < b < c$ ,存在正整数 $N$ ,当 $n > N$ 时，必有 $a < b_n < c$ .特别地，若数列的极限为正，则从某一项开始数列的每一项都为正。

证明：
在保序性定理中，任取定 $a<b, a_{n} \equiv a, n \in \mathbb{N}$ 则存在 $N>0, n>N: b_{n}> a_{n}=a .$ 同理, 存在 $N>0, n>N: b_{n}<c .$

推论2. 保不等式性

设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，且从某一项开始, $a_n \leqslant b_n$ ，则 $a \leqslant b$

注：
即使 $a_{n}<b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}^{+}$ ,也未必有 $a<b .$ 例如, $a_{n} = \frac{1}{n}, b_{n} = \frac{2}{n}, a_{n} < b_n$ ，但 $a = b$

绝对值性质

设数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ ,则 $\{|a_n|\}$ 收敛于 $|a|$ .

证明：
由数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ ,知 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ ，此时对于数列 $\{|a_n|\}$ 有 $\| a_{n}|-| a|| \leqslant\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 故 $\{|a_n|\}$ 收敛于 $|a|$ .

迫敛性

给定三个数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\},\left\{z_{n}\right\}$ ，若从某项开始成立 $x_{n} \leqslant y_{n} \leqslant z_{n}$
且
$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a$

证明：
假设从 $N_0$ 项开始，上文不等式成立，
$\forall \varepsilon>0,$ 由 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a,$ 可知 $\exists N_{1}, \forall n>N_{1}:\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon,$ 从而有 $a-\varepsilon < x_n$
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a,$ 可知 $\exists N_{2}, \forall n>N_{2}:\left|z_{n}-a\right|<\varepsilon,$ 从而有 $a+\varepsilon > z_n$
取 $N=\max \left\{N_{0}, N_{1}, N_{2}\right\},$ 则 $\forall n>N,$ 有: $a-\varepsilon < x_{n} \leqslant y_{n} \leqslant z_{n} \leqslant a+\varepsilon$ 即 $\left|y_{n}-a\right|<\varepsilon$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a$
注：
夹逼性质是判断数列收敛并求出极限值的重要方法之一.在求比较复杂的数列 $\left\{y_{n}\right\}$ 的极限时，往往需要先进行适当的放大与缩小.例如，将 $\left\{y_{n}\right\}$ 放大为 $\left\{z_{n}\right\}$ ，缩小为 $\left\{x_{n}\right\}$ ,如果 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{z_{n}\right\}$ 的极限易求，且两者相同，则由上面的夹逼性质即可求出 $\left\{y_{n}\right\}$ 的极限.

最后编辑于：2020.11.30 23:55:35

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