在早期，数与形，是人类认识世界的基础，数的代表——整数，形的代表——几何，就是人类理性世界里的两个关键因子。
当时的人们认为，整数及整数之比就已经可以代表数轴上所有的数了，数的发现工作已经完备，大厦已经建立起来了。
直到有一天，√2被发现了，然后引发了一场巨大的危机。
这本应是代表科学进步的一次发现，为什么会导致一场巨大的危机呢？
1.
大约在公元前500年的时候，古希腊的天才数学家毕达哥拉斯创建了一个属于自己的学派——毕达哥拉斯学派。该学派研究算术、音乐等内容，追求宇宙的和谐统一规律，并且取得了一定的功绩。
毕达哥拉斯学派是一个唯心学派，他们对（整）数有着近乎痴迷的信仰，他们认为，“万物皆数，一切数均可以表示成为整数或两个整数之比”。利用整数和整数之比，就可以表示出直线上所有的点，而整数和分数，对于实际量度已经足够了。
他们对（整）数的信仰据说来源于毕达哥拉斯的一次偶然的经历。
一天，毕达哥拉斯发现音乐中音调的和谐完全由整数之比来决定，看似毫无关系的事物居然通过整数连接在了一起！这让毕达哥拉斯大为震惊，并由此断言万物皆可归结于整数或整数之比。
与此同时，数学史上最伟大的定理之一——毕达哥拉斯定理被他们发现了。所谓毕达哥拉斯定理，也就是我们熟知的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
据说，毕达哥拉斯在证明了此定理后，杀了100头牛来祭祀缪斯女神（神话中掌管文艺、科学的女神），以酬谢神灵的启示。
然而，历史却给毕达哥拉斯开了一个大大的玩笑，这一成就毕达哥拉斯一世英名的定理，却反过来成为了该学派信仰的“掘墓者”。
2.
一天，毕达哥拉斯学派一个名叫希帕索斯的成员思考了一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少呢？
根据毕达哥拉斯定理，其长度应该等于2的平方根，而根据毕达哥拉斯学派的信条，这个数应该可以表示成两个整数之比。
但是希帕索斯却证明了，这是一个矛盾的结果！
小小的√2，既不能用整数来表示，也不能用整数之比来表示，这是一个全新的数字！
当毕达哥拉斯知道这件事情后，异常震惊。这时他要么承认希帕索斯的发现，颠覆自己学派的信仰，要么违背理性，反对这一发现。
在两难的处境中，毕达哥拉斯选择了后者，为了维护学派的信仰，希帕索斯被投入海底淹死，后者为科学献出了自己的生命。
但此时，就算处死了希帕索斯，毕达哥拉斯学派信仰的坍塌也无可挽回了。
3.
√2的发现不仅从根本上动摇了毕达哥拉斯学派的信念，也对古希腊人的认知造成了极大的冲击。
这一发现的冲击表现在它与常识的冲突上：任何量，在任意精度内都可以表示成整数或整数之比，这是古希腊人普遍接受的事实，然而这一完全符合常识的论断却被小小的√2推翻了！
这是多么糟糕的事情，自己以前认知的事物居然可能要被从根本上推翻！但是更糟糕的是，面对这一发现，当时的人竟然毫无解决办法。
这件事直接引发了人们在认识上的危机，从而导致了西方数学史上的一次巨大的震动，史称“第一次数学危机”。
这一次危机持续了2000多年，公元前370年，毕达哥拉斯学派的欧多克斯创建了新的比例理论，微妙地解决了无理“量”的问题。
直到1872年，戴德金在皮亚诺算术的基础上，通过戴德金分割不依赖几何定义了实数，这才解决了无理数问题。
而做出重要贡献的欧多克索斯的方法，也被欧几里得的《几何原本》收录。
这次危机表明，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击，于是，几何学在古希腊数学中开始占据特殊的地位。
这次危机也反映出，直觉和经验是不一定靠得住的，推理证明才是可靠的。这次危机后，古希腊人更深刻地认识到了这一点，并由此出发，经过演绎推理证明命题，逐渐建立了几何学体系。这是数学思想上的一次变革，也是第一次数学危机的产物。
至于中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，继续走着以算为主、以用为主的道路，忽视了推理和证明的重要性，从而与现代科学的诞生擦肩而过……
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