泊松公式

刚体的定轴转动

$\dot{\boldsymbol{b}}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{b}$

转动刚体上任一固连矢量在固定参考系内对时间的导数，等于刚体的角速度矢量与该矢量的矢积（叉乘）。

证明：设刚体以 $\boldsymbol\omega$ 绕定轴 $z$ 转动， $\boldsymbol b$ 为体上任一矢量，设矢量的起点 $A$ 的位矢为： $\boldsymbol r_A$ ，矢量终点 $B$ 的位矢为： $\boldsymbol r_B$
$\large \begin{aligned} \because \dot{\boldsymbol{r}}&=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\\ \dot{\boldsymbol{b}} &=\dot{\boldsymbol{r}}_{B}-\dot{\boldsymbol{r}}_{A} \\ \therefore&=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{B}-\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{A} \\ &=\boldsymbol{\omega} \times\left(\boldsymbol{r}_{B}-\boldsymbol{r}_{A}\right) \\ &=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{b} \end{aligned}\\$

泊松公式推导极坐标中基矢量速度的表达式

设： $\boldsymbol k$ 是角矢量 $\boldsymbol \omega$ 的单位矢量
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{e}}_{\rho} &=\omega \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{e}_{\rho}=\dot{\varphi} \boldsymbol{e}_{\varphi} \\ \dot{\boldsymbol{e}}_{\varphi} &=\omega \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{e}_{\varphi}=-\dot{\varphi} \boldsymbol{e}_{\rho} \end{aligned}$

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