在上一篇文章中，我阐述了之所以写这个话题的出发点，当我把文章写出来的时候，我发现我的疑问基本解决了，而当我把文章发给好友让他给出意见时，他的一句话让我醍醐灌顶。

他说：“这位名师的问题应该是站在公式的角度，而不是推导的角度来说的，你们是两是站在不同的角度考虑的，说的是两个问题”

我说：“是哦，如果只站在公式的角度来考虑的话，那的确是”梯形“，记住梯形面积计算公式，其他图形的面积公式都是它的一个特殊形式而已。”

上篇链接：关于一个面积问题引发的思考（1）https://www.jianshu.com/p/b2ddf259f7d1

当即我就决定，要站在公式的角度再写一篇文章，与前者形成一个对比。一个知识点，站在不同的角度思考，就有不同的解读方式，但不管如何，我们都要保证知识点的核心结构不能有变。

思考的角度的不同处

二者思考的角度有什么不同呢？我考虑的主要是学习的过程，学习的过程是从特殊到一般的过程，追寻的是每一个公式是如何来的，注重的是对公式的理解过程，从面积的本质出发，用特殊的图形面积公式推导出一般图形面积公式的过程，复习的时候，帮助孩子们重新梳理，在架构知识点的同时，回顾并了解知识的本质。而对话者所站角度的前提是在总复习时公式的串联，在总复习时，默认的是推导的过程已经学习了，公式也已经出来了。那么在总复习时，需要将所有的知识内容进行串联，而在面积计算公式中，在大的知识框架下找一个最普通的面积公式，将正方形、长方形、三角形、平行四边形的面积公式进行串联的，最合适的无疑就是“梯形面积计算公式”

为何是梯形面积计算公式？

原因就是梯形是几种平面图形中最普遍的一种，平行四边形、正方形、三角形、长方形都可以视为一种特殊的梯形【圆另当别论】，即，在某种特定条件下，它们都可以视作为梯形，原理就是用一般到特殊。如：三角形就可以看作为上底为0 的梯形，平行四边形就可以看作为上底和下底相等的梯形等。

转化的过程

把梯形面积公式看作基础来转化其他图形的面积公式的前提是孩子必须掌握了梯形的面积计算公式：（上底+下底）×高÷2；不然将是无用的。下列将对转化的过程进行一个陈述【符号表示时， $a$ 表示长方形的长、梯形的下底、三角形和平行四边形的底； $b$ 表示长方形的宽和梯形的上底； $h$ 表示所有图形的高】。

1.三角形面积公式转化：三角形可看作为是“上底=0”的梯形，即: $b=0$ .

$梯形的面积=\frac{1}{2} （上底+下底）×高$ ，当“ $上底=0$ ”时，有

$梯形的面积=\frac{1}{2} （0+下底）×高=\frac{1}{2} 下底×高$ ，即:

$三角形的面积=\frac{1}{2} 底×高$

符号表示： $𝑆_梯=\frac{1}{2} （𝑎+𝑏）ℎ$ ，当 $b=0$ 时，有 $𝑆_∆= \frac{1}{2} （𝑎+0）ℎ=\frac{1}{2} 𝑎ℎ$ .

三角形面积公式转化过程

2.平行四边形面积公式转化：平行四边形可看作为“上底=下底”的梯形，即： $a=b$ .

$梯形的面积=\frac{1}{2} （上底+下底）×高$ ,当“上底=下底”时，有

$梯形的面积=\frac{1}{2} （下底+下底）×高=\frac{1}{2} ×2下底×高=下底×高$ ，即：

$平行四边形的面积=底×高$ 。

符号表示： $𝑆_梯=\frac{1}{2} （𝑎+𝑏）ℎ$ ，当 $a=b$ 时，有 $𝑆_平= \frac{1}{2} （𝑎+𝑎）ℎ= \frac{1}{2} ×2𝑎ℎ= 𝑎ℎ$ .

平行四边形面积公式转化过程

3.长方形面积公式转化：长方形可看作为“上底=下底”且上底与斜边垂直的梯形即： $a=b$ (此时长方形的宽等于梯形的高，长方形的长等于梯形的上底）

$梯形的面积=\frac{1}{2} （上底+下底）×高$ ,当“上底=下底”时，有

$梯形的面积=\frac{1}{2} （下底+下底）×高=\frac{1}{2} ×2下底×高=下底×高$ ，即：

$长方形的面积=长×宽$ .

符号表示： $𝑆_梯= \frac{1}{2} （𝑎+𝑏）ℎ$ ,当 $a=b$ （宽=高）时，有 $𝑆_长=\frac{1}{2} （𝑎+𝑎）𝑏=\frac{1}{2} ×2𝑎𝑏=𝑎𝑏$ .

长方形面积公式转化过程

3.正方形面积公式转化：正方形可看作为“上底=下底=高”的梯形；即： $a=b=h$ .

$梯形的面积=\frac{1}{2} （上底+下底）×高$ ,当“上底=下底=高”时，有

$梯形的面积=\frac{1}{2} （下底+下底）×高=\frac{1}{2} ×2下底×高=下底×下底=下底^ 2$ ，即：

$正方形的面积=边长^2$

符号表示： $𝑆_梯= \frac{1}{2} （𝑎+𝑏）ℎ$ ，当 $a=b=h$ 时，有 $𝑆_长=\frac{1}{2} （𝑎+𝑎）a=\frac{1}{2} ×2𝑎\cdot 𝑏=𝑎\cdot a=a^2$ .

正方形面积公式转化过程

圆的面积公式该怎么处理呢？

在小学阶段所学的几种基本平面图形中，圆和其它几种图形本来就不属于同一类型【这里指的从组成来说】，圆是由曲面围成的平面图形，而其他的几种是由直线围成的平面图形，在小学、初中、甚至高中，对圆的面积计算公式的推导应该只能站在分割圆的基础上，而且无法避免极限思想的渗透，真正的解释其合理性，应该在高等代数中通过微积分的原理进行推导。所以圆的面积公式，要么死记硬背，要么真正理解其的来源过程，别无它法。

关于一个面积问题引发的思考（2）

关于一个面积问题引发的思考（2）

思考的角度的不同处

为何是梯形面积计算公式？

转化的过程