1.OpenGL向量以及矩阵
1.2 向量的作用以及表示
在GLTools库中有一个组件叫Math3d，其中包含了大量好用的OpenGL一致的3D数学和数据类型。虽然我们不必要亲自进行所有的矩阵和向量的操作，但我们需要知道它们是什么？以及如何运用它们，在开发工程中我们涉及到的图形变换，就会涉及到矩阵、向量的计算。
空间中的一个点，即是向量，也是顶点
2.2 如何在代码中表示一个向量
在math3d库中，给我们提供了两种数据类型，能够表示一个三维或者四维向量：
- M3DVector3f：表示一个三维向量(x, y, z)。
- M3DVector4f：表示 一个四维向量(x, y, z, w)，其中w为缩放因子，一般情况下值设置为1.0，x, y, z值通过除以w来进行缩放。而除以1.0本质上不会改变x, y, z的值。
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明一个三维向量操作
M3DVector3f vVector3;
//声明一个四维向量操作
M3DVector4f vVector4 = {0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f };
声明一个三维向量顶点数组，例如生成一个三角形
M3DVector3f vVerts[] = {
-0.5f, 0.0f, 0.0f,
0.5f, 0.0f, 0.0f,
0.0f, 0.5f, 0.0f };
2.3 向量/矩阵 的点乘
-
点乘的概念：又叫做点积、内积、数量积、标量积，向量a[a1,a2,...,an]和向量b[b1,b2b...,bn]点乘的结果是一个标量，记作a.b，如下图所示：
向量的点乘公式 -
OpenGL中的向量点乘
如下图：
OpenGL中向量的点乘
向量点乘的方法实现：
//方法1：返回-1到1之间的值。它代表传入两个向量的余弦值。
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v);
//方法2：返回两个向量的弧度值。
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v);
2.4 向量/矩阵的叉乘
-
叉乘的概念:又叫向量积、外积、叉积，叉乘，向量a[x1,y1,z1]和向量b[x2,y2,z2]叉乘的运算结果是一个向量，并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，记作axb；
向量的叉乘公式 -
OpenGL中的向量叉乘：
如下图：
OpenGL中向量的叉乘.jpeg
向量叉乘的方法实现：
//参数1：叉乘计算结果向量，参数2和参数3是要进行叉乘的两个向量。
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result, const M3DVector3f u, const M3DVecror3f v);
注意:矩阵U叉乘矩阵V与矩阵V叉乘矩阵U结果是不相同的，矩阵的叉乘不能进行逆运算。
2.5 OpenGL中的矩阵
2.5.1 矩阵的运算
-
如果⼀个向量乘以⼀个单位矩阵得到的结果还是原来的矩阵，如下图：
2.5.2 OpenGl中的矩阵表示
-
⼀个4x4的矩阵在3D空间中的表示位置以及方向的方式，如下图所示：
4x4矩阵在3D空间的位置与方向表示
注意：矩阵的最后⼀⾏都为0，只有最后⼀个元素为1
-
以下分别表示三种矩阵
三种矩阵 OpenGL定义矩阵的类型
//定义一个3行3列的矩阵
typedef float M3DMatrix33f[9];
//定义一个4行4列的矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];
//创建单元矩阵
GLfloat m44f[] = {
1.0f,0.0f,0.0f,0.0f,//X列
0.0f,1.0f,0.0f,0.0f,//Y列
0.0f,0.0f,1.0f,0.0f,//Z列
0.0f,0.0f,0.0f,1.0f//变换
};
//使用方法初始化一个3x3的单元矩阵
M3DMatrix33f m33;
m3dLoadIdentity33(m33);
//初始化4x4的单元矩阵
M3DMatrix44f m44 = {
1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, //x列
0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f, //y列
0.0f, 0.0f, 0.1f, 0.0f, //z列
0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f //变换
};
由以上代码可知：在OpenGL的矩阵构造是一维数组，而不是二维数组，因为使用一维数组效率高，一个一个读取就可以了。
2.5.3 行矩阵与列矩阵
转置矩阵：将⾏矩阵A的换成同序列列得到的矩阵，叫做A的转换矩阵。计为AT。矩阵转置，其实就是⾏列互换。有很多地⽅都⽤到。⽐如数学、程序语⾔、计算机数据结构中。
行矩阵与列矩阵
2 绘制图形时对向量\矩阵的应用
2.1 OpenGL变换术语应用
变换术语应用表
2.2 OpenGL中的仿射变换
2.2.1 平移变换
-
模型的平移
图示：
模型的平移 矩阵的平移
/// 矩阵的平移
/// @param m 平移后的矩阵
/// @param x x轴平移距离
/// @param y y轴平移距离
/// @param z z轴平移距离
void m3dTranslationMatrix44(float *m, float x, float y, float z);
2.2.2 旋转变换
-
模型的旋转
图示：
模型围绕任意轴旋转 矩阵的旋转
/// 矩阵的旋转
/// @param m 旋转后的矩阵
/// @param angle 旋转的弧度值，如果想要传入角度，可以使用m3dDegToRad(度数值)函数将度数转化为弧度值
/// @param x 围绕x轴旋转传入1.0，否则传入0.0
/// @param y 围绕y轴旋转传入1.0，否则传入0.0
/// @param z 围绕z轴旋转传入1.0，否则传入0.0
void m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, float angle, float x, float y, float z); //4x4矩阵的旋转
void m3dRotationMatrix33(M3DMatrix33f m, float angle, float x, float y, float z);//3x3的矩阵的旋转
2.2.3 缩放变换
-
模型的缩放
图示：
模型的缩放 矩阵的缩放
/// 获取一个矩阵进行旋转变换之后的矩阵
/// @param 旋转之后的矩阵
/// @param xScale x轴缩放因子
/// @param yScale y轴缩放因子
/// @param zScale z轴缩放因子
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale);//4x4矩阵的旋转
void m3dScaleMatrix33(M3DMatrix33d m, double xScale, double yScale, double zScale)//3x3的矩阵的旋转
/// 获取一个矩阵进行旋转变换之后的矩阵
/// @param m 旋转之后的矩阵
/// @param vScale 一个包含x,y,z轴缩放因子的M3DVector3f类型变量
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, const M3DVector3f vScale);//4x4矩阵的旋转
void m3dScaleMatrix33(M3DMatrix33d m, const M3DVector3d vScale);//3x3的矩阵的旋转
