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罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则

罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则

罗尔定理(Rolle’s Theorem)

如果函数y = f(x)

在[a,b]区间上连续
在(a,b)区间上可导
f(a)=f(b)

那么在(a,b)上至少存在一个c，使得f'(c)=0

拉格朗日中值定理(The Mean-Value Theorem)

如果函数f(x)满足：

在[a,b]区间上连续
在(a,b)区间上可导

那么在(a,b)上至少存在一个c，使得 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

拉格朗日中值定理的其他形式

$\Delta y=f'(x+\theta \Delta x).\Delta x$ (有限增量定理)

柯西中值定理(Cauchy’s Generalized Mean-Value Theorem)

如果函数f(x)和g(x)满足

在闭区间[a,b]上连续
在区间(a,b)上可导，且 $g’(x)\neq 0$

那么在(a,b)上至少存在一点c，使得
$\frac {f'(c)}{g'(c)}=\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

洛必达法则

$\frac 0 0$ 型

函数f(x),g(x)在区间 $(a,a+\delta)$ 内满足：

$\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(g)=0$
f(x),g(x)在区间 $(a,a+\delta)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在(或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty$ )

则 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ )

以上结论对于 $x \to a^+, x\to a^- , x \to a , x \to +\infty ,x\to -\infty,x \to \infty$

$\frac \infty \infty$ 型

函数f(x),g(x)在区间 $(a,a+\delta)$ 内满足：

$\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty; \lim_{x \to a^+}f(g)=\infty$
f(x),g(x)在区间 $(a,a+\delta)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在(或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty$ )

则 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ )

定理之间的关系

$罗尔定理 \to拉格朗日中值定理 \to 柯西中值定理 \to 洛必达法则$

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