2019-05-13

BPSK
定义：2PSK，是用二进制数字基带信号控制正弦载波的相位
信号表达式
- 在时间内（无穷多个比特）：
  - $s_{BPSK}(t) = b(t)\cdot A\cos2\pi f_c t = A[\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)]\cos 2\pi f_c t$
- 在时间内（单个比特）：
  - $s_{BPSK} = \begin{cases}s_1(t) = A\cos2 \pi f_c t数据1\\ s_2(t) = A\cos(2\pi f_c t+\pi) = -A\cos2\pi f_c t数据0\end{cases}$
BPSK用载波是否反相表达二进制信息0,1
2PSK信号的功率谱密度
- $s_{BPSK} = b(t)\cdot A\cos2\pi f_c t$ 是DSB信号，其功率谱密度是 $P_s(f) = \frac{A^2}{4}[P_b(f-f_c)+P_b(f+f_c)]$
- $b(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)$ 是双极性NRZ码，其中 $a_n\in \{\pm1\}$ , $g_T(t) = \begin{cases}1,0<t<T_b\\0,else\end{cases}$ ，
- 的功率谱密度是
  - 基带信号的主瓣带宽是 $W = 1/T_b$
  - 主瓣带宽是 $B = 2/T_b$ ，按主瓣计算的频带利用率是 $\frac{R_b}{B} = \frac{1}{2}bit/s/Hz$ 的功率谱密度中无离散载频分量。
BPSK信号的接收
$s(t) = \begin{cases}s_1(t) = A\cos2\pi f_c t\\s_2 = -s_1(t)\end{cases}$ , $0<t<T_b$
用匹配滤波器来接收
$s_1(t)或s_2(t) \longrightarrow +n_w(t)\longrightarrow r(t) \longrightarrow h(t)(匹配滤波器)\longrightarrow t = T_b \longrightarrow y \longrightarrow V_T$
$h(t)$ 对 $s_1(t)$ 匹配（假设 $f_c$ 是 $R_b = \frac{1}{T_b}$ 的整数倍）: $h(t) = s_1(T_b-t) = s_1(t)$
判决器的输入是
- 其中 $E_b = \frac{A^2T_b}{2}$ ，高斯白噪声形成的输出Z是均值为零、方差为 $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}E_b$ 的高斯随机变量。
默认先验等概： $P(s_1) = P(s_2) = \frac{1}{2}$ ，门限是 $+E_b$ 和 $-E_b$ 的中间： $V_{T} = 0$
误码率均为 $P(e|s_1) = P(e|s_2) = P(Z>E_b) = \frac{1}{2}erfc(\frac{E_b}{\sqrt{2\sigma^2}}) = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{{N_0}}})$
匹配滤波器+采样 = 相关器
2PSK接收的一个等价形式是相关器接收：
- $s_1(t)或s_2(t) \longrightarrow +n_w(t)\longrightarrow r(t)\longrightarrow \bigotimes s_1(t) \longrightarrow\int_{0}^{T_b}(\cdot )dt\longrightarrow y \longrightarrow V_T$
- 在积分区间内 $s_1(t) = A\cos \omega_c t$
相干解调要求准确知道 $s_1(t)$ 的相位。
相干解调+基带匹配滤波器接收
$s_1(t)或s_2(t) \longrightarrow +n_w(t)\longrightarrow r(t)\longrightarrow \bigotimes 2\cos(\omega_c t)\longrightarrow v(t )\longrightarrow$匹配滤波器h(t)$\longrightarrow y \longrightarrow V_T$
·BPSK是双极性NRZ对载波做DSB调制，故也可以先做DSB解调，然后对单极性NRZ 信号进行匹配滤波器接收
- 接收信号是 $r(t) = a\cdot A\cos 2\pi f_c t\cdot rect[\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2}]+n_w(t),a = \pm 1$
- 有用信号的复包络是，基带匹配滤波器可设置为对矩形脉冲匹配：
  - $h(t) = rect[\frac{T_b-t}{T_b}-\frac{1}{2}] = rect[\frac{1}{2}-\frac{t}{T_b}] = rect[\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2}]$
- 采样时刻的判决量是 $y = \int_{-\infty}^{\infty}v(\tau)h(T_b-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}v(\tau)rect[\frac{T_b-\tau}{T_b}-\frac{1}{2}]d\tau =\int_{-\infty}^{\infty}v(\tau)rect[\frac{\tau}{T_b}-\frac{1}{2}]d\tau = \int_{0}^{T_b}v(t)dt$
  $= \int_{0}^{T_b} r(t)\cdot 2\cos(2\pi f_c t)dt$
因此结构可以变为： $s_1(t)或s_2(t) \longrightarrow +n_w(t)\longrightarrow r(t)\longrightarrow \bigotimes 2\cos(\omega_c t) \longrightarrow \int_{0}^{T_b}(\cdot )dt\longrightarrow y \longrightarrow V_T$
与之前的先关型解调只有系数差别，误比特率公式完全一样 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$ ,这是一切PAM的误比特率公式。
限带传输
可将发送信号的基带脉冲从矩形换成频谱是根号升余弦的脉冲
信号的表达式
- $s_{BPSK}(t) = b(t)\cdot A\cos2\pi f_c t = A[\sum_{n = -\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)]\cos 2\pi f_c t$
滚降系数 $\alpha = 0.5$ 的 $g_{T}(t)$ 的波形
功率谱密度是 $P_b(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_b}|G_T(f)|^2 = \frac{1}{T_b }H_{升余}(f)$
绝对带宽是 $B = \frac{1+\alpha}{T_b}$ ，频带利用率是 $\frac{R_b}{B} = \frac{1}{1+\alpha}bit/s/Hz$
误比特率与原来相同 $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$ ， $g_T(t)$ 的形状影响的是发送信号的功率谱密度 $P_s(f)$
不能非相干解调。

2019-05-13

推荐阅读更多精彩内容