标签： 高中数学 高考真题 解析几何
2014年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
已知点 ，椭圆
的离心率为
,
是椭圆
的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点.
（I）求 的方程;
（Ⅱ）设过点 的动直线
与
相交于
两点.当
的面积最大时，求
的方程.
【解答问题I】
依题意可知，直线 的方程为：
. 其与
轴的交点为
.
所以 , 椭圆
的方程为：
【问题Ⅱ分析】
注意以下的示意图， 四点可构成3个三角形（两小一大）：
两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积。其中， 和
的面积计算较为容易，可以根据这两个三角形的面积，计算
的面积。
【解答问题Ⅱ】
若直线 垂直于
轴，则
两点在
轴上，
的面积为0. 以下讨论斜率存在的情况。
因为点 在
轴上，所以
两点位于
轴同侧，其
坐标同正或同负。
已知 , 所以
两点是直线与椭圆的公共点，满足以下方程：
代入消元后可得：
令
当 时，
取得最大值，
取得最大值。
由 解得
, 此时
综上所述，当 的面积最大时，
的方程为：
.
【提炼与提高】
三角形的面积有多种计算方法，在高考中出现频率较高。
在以上解法中，经过几何分析后，我们找到了一种计算量较小的路径。如果根据 长度及与原点的距离计算也是可以的。结论一致，但计算过程就要复杂一些。有兴趣的读者可以自行尝试，并作比较。
考场上的每一分钟都是珍贵的。要想在高考中胜出，就要养成良好的解题习惯：对解析几何问题，要先作几何分析，找出几条可行的解答路径，再粗略比较几种解法的计算成本，选择一条最优解答路径。当然，只有在平时加强训练，才能做到这一点。
关于面积公式的灵活用法，请参考下文：
用初中数学解答高考题：如何用面积公式实现转化？
