㈠基本定义
1. 相似变换
存在一个可逆阵P，使 P⁻¹AP = B，
则A与B相似，记作A~B
理解：矩阵相似变换，就是矩阵A经过一个变换之后，n个维度的放大倍数(特征值)不变，这个新的线性变换B与原来的线性变换A相似。
2. 相似对角化(矩阵和对角阵相似)
∃可逆P，使P⁻¹AP = Λ=diag(λ₁, λ₂,..., λn)
即 AP = PΛ
其中，P的列向量为A的特征向量
P=(ξ₁, ξ₂,..., ξn)
3.相似是一种特殊的等价，是一种QAP=B中满秩矩阵Q=P⁻¹的特殊形式。所以矩阵相似符合等价矩阵的一切性质。
㈡相似性质的应用
1. A~B的性质
⑴A~B必要条件(迹秩列值, 用于否定相似条件)
❶tr(A)=tr(B)，❷r(A)=r(B)，
❸ | A | = | B |，❹| A-λE | = | B-λE |
⑵若A~B，则
A*~B*，A⁻¹~B⁻¹，Aᵏ~Bᵏ，Aᵀ~Bᵀ
kA~kB，(kAᵐ+nE)~(kBᵐ+nE)
2. A可相似对角化的判定
⑴基本原则(充要): A有n个线性无关的特征向量
⑵ 推论1: A有n个不同的特征值, 可对角化
推论2: A的λi的无关的特征向量个数，等于λi的重根数，则可对角化
⑶实对称阵Aᵀ=A, A必可相似对角化
⑷用矩阵方程判断“可相似对角化”
技巧: 只要能移项成为
(k₁A+m₁E)(k₂A+m₂E)=O的矩阵方程
都可以相似对角化。
例如: A²=A, A²=E, A²=O, A²+A-2E=O
①利用基础解系的秩
❶矩阵方程化为乘积为零形式(AB=O)
r(A)+r(B)≤n（n是A的列数）
❷设r(A)=r, 则rˢᴬ = n-r
❸又r(B)≤n-r, 则rˢᴮ ≥ n-(n-r) = r
❹则A的线性无关的特征向量数
nⁱ=rˢᴬ+rˢᴮ≥n
❺由nⁱ≤n，故nⁱ=n
②利用秩的性质
❶矩阵方程移项 A(A-E)=O
r(A)+r(A-E)≤n（n是A的列数）
❷由r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)
≥ r(A+E-A)=r(E)=n
❸r(A)+r(A-E)=n
❹nⁱ=rˢᴬ+rˢᴮ=n-rˢᴬ+n-rˢᴮ=n
⑸全部特征值相等λi=λ，但不是对角阵的矩阵，不可相似对角化
证明: 特征方程的(A-λE)x=0没有n个线性无关的解, 因系数矩阵(A-λE)不是O矩阵。
⑹二阶矩阵对角化的特殊性质
①二阶矩阵行列式小于零( | A |＜0 )
则A必有2个不同的λ
②副对角线乘积大于零
则A必有2个不同的λ
③和对角阵可交换AΛ=ΛA(仅二阶适用)
用矩阵暴力设方程, 轻松证明
3. A与B相似的判定步骤
①判断特征值是否相等
❶四个必要条件
（迹，秩，行列式，特征多项式）
❷按顺序判断，任何必要条件不符合
则特征值不相等，必然不相似
②如果特征值全相等
❶若A, B均可相似对角化
则A~B
❷若A, B中仅一个可相似对角化
则A, B不相似
❸若A, B均不可相似对角化
ⅰ. 若阶数≤3, 考察r(A-λE)=r(B-λE)
对每个λⅰ考察特征矩阵的秩
若每个λi都符合条件，则A~B
ⅱ. 若阶数≥4，暴力求解
设一个可逆的P，考察AP=PB
