20211012隐函数求导公式

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1：

设函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $\displaystyle F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) \neq 0$ ，则方程 $\displaystyle F(x, y) = 0$ 在点 $\displaystyle (x_0, y_0)$ 的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数 $\displaystyle y=f(x)$ ，它满足条件 $\displaystyle y_0 = f(x_0)$ ，并有
$\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{F_x}{F_y} \tag{1} \label{eq1}$
公式 $\displaystyle \eqref{eq1}$ 就是隐函数求导公式。

将方程 $\displaystyle F(x, y) = 0$ 所确定的函数 $\displaystyle y = f(x)$ 代入 $\displaystyle F(x, y) = 0$ ，的恒等式：
$F(x, f(x)) \equiv 0 \nonumber$
其左端可看作是 $\displaystyle x$ 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得：
$\cfrac{\partial F}{\partial x} + \cfrac{\partial F}{\partial y} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \nonumber$
因为 $\displaystyle F_y$ 连续，且 $\displaystyle F_y (x_0, y_0) \neq 0$ ，所以存在 $\displaystyle (x_0, y_0)$ 的一个邻域，在这个邻域内 $\displaystyle F_y \neq 0$ ，于是得
$\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{F_x}{F_y} \nonumber .$
如果 $\displaystyle F(x,y)$ 的二阶偏导数也都连续，可以把等式 $\displaystyle \eqref{eq1}$ 的两端看做 $\displaystyle x$ 的复合函数而再一次求导：
$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{\partial}{\partial x} \left( -\cfrac{F_x}{F_y} \right) + \cfrac{\partial}{\partial x} \left( -\cfrac{F_x}{F_y} \right) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \nonumber \\ &= - \cfrac{F_{xx}F_y - F_{yx}F_x}{F^2_y} - \cfrac{F_{xy}F_y - F_{yy}F_x}{F^2_y} \left(-\cfrac{F_x}{F_y} \right) \nonumber \\ &= - \cfrac{F_{xx}F_y - 2F_{xy} F_x F_y + F_{yy}F^2_x}{F^3_y} \nonumber \end{align}$

隐函数存在定理2：

设函数 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $\displaystyle F(x_0, y_0, z_0) = 0, \, F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$ ，则方程 $\displaystyle F(x, y, z) = 0$ 在点 $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ，它满足条件 $\displaystyle z_0 = f(x_0, y_0)$ ，并有
$\cfrac{\partial z}{\partial x} = - \cfrac{F_x}{F_z} ,\, \cfrac{\partial z}{\partial y} = - \cfrac{F_y}{F_z} . \tag{2} \label{eq2}$

例题：设 $\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ ，求 $\displaystyle \cfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ .

解：设 $\displaystyle F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$ ，则 $\displaystyle F_x = 2x, \, F_z = 2z - 4$ .当 $\displaystyle z \neq 2$ 时，应用公式 $\eqref{eq2}$ 得，
$\cfrac{\partial z}{\partial x} = \cfrac{x}{z - z} \nonumber$
再一次对 $x$ 求偏导数，得：
$\cfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cfrac{(2 - z) + x \cfrac{\partial z}{\partial x}}{(2 - z)^2} = \cfrac{(2 - z) + x \left(\cfrac{x}{2 - z} \right)}{(2 - z)^2} = \cfrac{(2 - z)^2 + x^2}{(2 - z)^3} \nonumber$

二、方程组的情形

隐函数存在定理3：

设函数 $\displaystyle F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $\displaystyle F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0, \, G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$ ，且偏导数所组成的函数行列式（或称为雅克比 $Jacobi$ 式）
$J = \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial v} \\ \cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial v} \end{array} \right| \nonumber$
再点 $\displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 不等于零，则方程组 $\displaystyle F(x, y, u, v)=0,G(x, y, u, v)=0$ 在点 $(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $\displaystyle u = u(x, y), v = v(x, y)$ ，它们满足条件 $\displaystyle u_0 = u(x_0, y_0), v_0 = v(x_0, y_0)$ ，并有
$\begin{align} \cfrac{\partial u}{\partial x} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_x & F_v \\ G_x & G_v\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial v}{\partial x} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_x \\ G_u & G_x\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial u}{\partial y} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_y & F_v \\ G_y & G_v\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial v}{\partial y} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_y \\ G_u & G_y\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}. \nonumber \end{align} \tag{3} \label{eq3}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 221,273评论 6赞 515
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 94,349评论 3赞 398
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 167,709评论 0赞 360
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 59,520评论 1赞 296
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 68,515评论 6赞 397
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 52,158评论 1赞 308
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,755评论 3赞 421
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,660评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 46,203评论 1赞 319
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 38,287评论 3赞 340
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 40,427评论 1赞 352
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 36,122评论 5赞 349
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,801评论 3赞 333
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 32,272评论 0赞 23
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,393评论 1赞 272
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,808评论 3赞 376
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 45,440评论 2赞 359

20211012隐函数求导公式

一、一个方程的情形

二、方程组的情形

推荐阅读更多精彩内容