20211012隐函数求导公式

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1：

设函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $\displaystyle F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) \neq 0$ ，则方程 $\displaystyle F(x, y) = 0$ 在点 $\displaystyle (x_0, y_0)$ 的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数 $\displaystyle y=f(x)$ ，它满足条件 $\displaystyle y_0 = f(x_0)$ ，并有
$\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{F_x}{F_y} \tag{1} \label{eq1}$
公式 $\displaystyle \eqref{eq1}$ 就是隐函数求导公式。

将方程 $\displaystyle F(x, y) = 0$ 所确定的函数 $\displaystyle y = f(x)$ 代入 $\displaystyle F(x, y) = 0$ ，的恒等式：
$F(x, f(x)) \equiv 0 \nonumber$
其左端可看作是 $\displaystyle x$ 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得：
$\cfrac{\partial F}{\partial x} + \cfrac{\partial F}{\partial y} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \nonumber$
因为 $\displaystyle F_y$ 连续，且 $\displaystyle F_y (x_0, y_0) \neq 0$ ，所以存在 $\displaystyle (x_0, y_0)$ 的一个邻域，在这个邻域内 $\displaystyle F_y \neq 0$ ，于是得
$\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{F_x}{F_y} \nonumber .$
如果 $\displaystyle F(x,y)$ 的二阶偏导数也都连续，可以把等式 $\displaystyle \eqref{eq1}$ 的两端看做 $\displaystyle x$ 的复合函数而再一次求导：
$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{\partial}{\partial x} \left( -\cfrac{F_x}{F_y} \right) + \cfrac{\partial}{\partial x} \left( -\cfrac{F_x}{F_y} \right) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \nonumber \\ &= - \cfrac{F_{xx}F_y - F_{yx}F_x}{F^2_y} - \cfrac{F_{xy}F_y - F_{yy}F_x}{F^2_y} \left(-\cfrac{F_x}{F_y} \right) \nonumber \\ &= - \cfrac{F_{xx}F_y - 2F_{xy} F_x F_y + F_{yy}F^2_x}{F^3_y} \nonumber \end{align}$

隐函数存在定理2：

设函数 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $\displaystyle F(x_0, y_0, z_0) = 0, \, F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$ ，则方程 $\displaystyle F(x, y, z) = 0$ 在点 $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ，它满足条件 $\displaystyle z_0 = f(x_0, y_0)$ ，并有
$\cfrac{\partial z}{\partial x} = - \cfrac{F_x}{F_z} ,\, \cfrac{\partial z}{\partial y} = - \cfrac{F_y}{F_z} . \tag{2} \label{eq2}$

例题：设 $\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ ，求 $\displaystyle \cfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ .

解：设 $\displaystyle F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$ ，则 $\displaystyle F_x = 2x, \, F_z = 2z - 4$ .当 $\displaystyle z \neq 2$ 时，应用公式 $\eqref{eq2}$ 得，
$\cfrac{\partial z}{\partial x} = \cfrac{x}{z - z} \nonumber$
再一次对 $x$ 求偏导数，得：
$\cfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cfrac{(2 - z) + x \cfrac{\partial z}{\partial x}}{(2 - z)^2} = \cfrac{(2 - z) + x \left(\cfrac{x}{2 - z} \right)}{(2 - z)^2} = \cfrac{(2 - z)^2 + x^2}{(2 - z)^3} \nonumber$

二、方程组的情形

隐函数存在定理3：

设函数 $\displaystyle F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)$ 在点 $\displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $\displaystyle F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0, \, G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$ ，且偏导数所组成的函数行列式（或称为雅克比 $Jacobi$ 式）
$J = \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial v} \\ \cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial v} \end{array} \right| \nonumber$
再点 $\displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 不等于零，则方程组 $\displaystyle F(x, y, u, v)=0,G(x, y, u, v)=0$ 在点 $(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $\displaystyle u = u(x, y), v = v(x, y)$ ，它们满足条件 $\displaystyle u_0 = u(x_0, y_0), v_0 = v(x_0, y_0)$ ，并有
$\begin{align} \cfrac{\partial u}{\partial x} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_x & F_v \\ G_x & G_v\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial v}{\partial x} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_x \\ G_u & G_x\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial u}{\partial y} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_y & F_v \\ G_y & G_v\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}, \nonumber \\ \cfrac{\partial v}{\partial y} &= -\cfrac{1}{J} \cfrac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)} = -\cfrac{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_y \\ G_u & G_y\end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{array} \right|}. \nonumber \end{align} \tag{3} \label{eq3}$

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