二次函数：2009年文数全国卷题21

2009年文科数学全国卷题21

已知函数 f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}.

（I）设 a=1，求函数 f(x) 的极值;

（Ⅱ）若 a \gt \dfrac{1}{4}，且当 x \in [1,4a] 时， |f'(x)| \leqslant 12a 恒成立，试确定 a 的取值范围.

【解答问题1】

a=1 \Rightarrow\; f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+1,

定义域为 (-\infty,+\infty).

f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

f'(-1)=f'(3)=0

\forall\;x\in(-\infty,-1),\;f'(x) \gt 0,\; 函数 f(x) 单调递增；

\forall\;x\in(-1,3),\;f'(x) \lt 0,\; 函数 f(x) 单调递减；

\forall\;x\in(3,+\infty),\;f'(x) \gt 0,\; 函数 f(x) 单调递增；

当 x=-1，函数取得极大值 f(-1)=6

当 x=3，函数取得极小值 f(3)=-26

【解答问题2】

f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}

f'(x)=3x^2-6ax-9a^2=3(x^2-2ax-3a^2)

令 g(x)=x^2-2ax-3a^2，则 f'(x)=3g(x)

|f'(x)| \leqslant 12a \;\Leftrightarrow\; -4a \leqslant g(x) \leqslant 4a

g(x)=(x-a)^2 -4a^2

g(x) 在区间 (-\infty,a) 上单调递减；在区间 (a,+\infty) 上单调递增；当 x=a 时，取得定义域内的最小值, f_{min}=f(a)=-4a^2

g(1)=1-2a-3a^2

g(4a)=1-2a-3a^2

(1) 若 a=1, 则在区间 [1,4a] 内 函数 g(x) 单调递增；所以 g(1) \leqslant f(x) \leqslant g(4)

而 g(4a) = 5 \gt 4a, 不合要求。

(2) 若 \dfrac{1}{4} \lt a \lt 1, 则 在区间 [1,4a] 内 函数 g(x) 单调递增；所以 g(1) \leqslant f(x) \leqslant g(4)， 所以

\left\{ \begin{array}\\ \dfrac{1}{4} \lt a \lt 1 ,\\ -4a \lt 1-2a-3a^2 \\ 5a^2 \lt 4a, \end{array} \right.

解得：\dfrac{1}{4} \lt a \lt \dfrac{4}{5}.

(3) 若 a \gt 1

∵ x=a 是函数 g(x) 的对称轴，∴ g(a+(1-a))=g(a-(1-a))

即 g(1)=g(2a-1)

因为 g(x) 在区间 (a,+\infty) 单调递增, 且 2a-1 \lt 2a \lt 4a，所以 f(2a-1) \lt f(4a)

由 -4a \leqslant g(x) \leqslant 4a 可得：

\left\{ \begin{array}\\ a \gt 1 \\ -4a \lt -4a^2, \end{array} \right.

解集为 \varnothing.

综上所述， a 的取值范围是 (\dfrac{1}{4},\dfrac{4}{5}).

【提炼与提高】

二次函数是中学数学的核心内容，也是高考必考。处理二次函数，对称轴是关键。

分类讨论是高中数学的重要思想方法，也是本题的重点。

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