什么是线性变换？
假设有一数学函数
，使得三维向量)
,有%20%3D%20f(x%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20(x'%2Cy'%2Cz'))
。那么，如果满足：
%20%3D%20f(%5Cvec%20u)%20%2B%20f(%5Cvec%20v))
%20%3D%20kf(%5Cvec%20v))
那么，称为线性变换。
线性变换的矩阵表示
![\begin{align*} f(\vec v) &= f(x \vec i + y \vec j + z \vec k) \\ &= f(x \vec i) + f(y \vec j) + f(z \vec k) \\ &= xf(\vec i) + yf(\vec j) + zf(\vec k) \\ &= [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} \end{align*}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Balign*%7D%20f(%5Cvec%20v)%20%26%3D%20f(x%20%5Cvec%20i%20%2B%20y%20%5Cvec%20j%20%2B%20z%20%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20f(x%20%5Cvec%20i)%20%2B%20f(y%20%5Cvec%20j)%20%2B%20f(z%20%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20xf(%5Cvec%20i)%20%2B%20yf(%5Cvec%20j)%20%2B%20zf(%5Cvec%20k)%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f(%5Cvec%20i)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Balign*%7D)
缩放变换
易知，缩放变换%20%3D%20S(x%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20(s_x%20x%2C%20s_y%20y%2C%20s_z%20z))
。那么，我们尝试证明一下它是线性变换：
%20%26%3D%20S(u_x%2Bv_x%2C%20u_y%2Bv_y%2C%20u_z%2Bv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_x(u_x%2Bv_x)%2C%20s_y(u_y%2Bv_y)%2C%20s_z(u_z%2Bv_z))%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_xu_x%20%2B%20s_xv_x%2C%20s_yu_y%20%2B%20s_yv_y%2C%20s_zu_z%20%2B%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(s_xu_x%2C%20s_yu_y%2C%20s_zu_z)%20%2B%20(s_xv_x%2C%20s_yv_y%2C%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20S(%5Cvec%20u)%20%2B%20S(%5Cvec%20v)%20%5Cend%7Balign*%7D)
%20%26%3D%20S(kv_x%2C%20kv_y%2C%20kv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20(ks_xv_x%2C%20ks_yv_y%2C%20ks_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20k(s_xv_x%2C%20s_yv_y%2C%20s_zv_z)%20%5C%5C%20%26%3D%20kS(%5Cvec%20v)%20%5Cend%7Balign*%7D)
综上，我们证明了缩放变换是线性变换。由之前线性变换的矩阵表示，我们可以推导缩放变换的矩阵表示为
%20%5C%5C%20S(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20S(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20s_x%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20s_y%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20s_z%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
旋转变换
我们定义旋转变换为将一个向量
绕任意轴
顺时针旋转
角度，如图所示：
由图可知，我们要求的就是将向量绕向量旋转角度后得到的
。首先，我们注意到在旋转过程中，与旋转轴平行的向量是不参与旋转过程的，只有与旋转轴垂直的向量在真正旋转。因此可以将向量分解为与平行的向量
和垂直的向量
。即：
那么
其中，平行向量是向量在旋转轴上的投影。这里假定，旋转轴向量是归一化过的，即单位向量。由向量投影的定义，可得到
%20%5Cvec%20n)
进而可得
%20%5Cvec%20n)
接下来，我们只要求得旋转后的
即可。注意到已知的，且这两个向量都位于同一个圆的旋转平面上，因此只要再得到一个垂直于的向量
，且向量与这两个向量共面，就可以通过旋转角度算出向量了：
那么，怎样的是满足以上条件的呢？注意到向量的叉积的几何意义：两向量的叉积后得到的向量与这两个向量是垂直的。所以，我们令
)
向量前面的系数是为了让向量的模与相等。这样就求出了满足条件的。特别地，由向量叉积的定义，可以将上式简化为
)
由图可知，
，而向量是单位向量，所以得到：
综合以上若干等式，求出最终的为
%20%5Cvec%20n%20%2B%20(%5Cvec%20v%20-%20(%5Cvec%20v%20%5Ccdot%20%5Cvec%20n)%20%5Cvec%20n)cos%5Ctheta%20%2B%20(%5Cvec%20n%20%5Ctimes%20%5Cvec%20v)sin%5Ctheta)
回到线性变换的定义来，旋转变换%20%3D%20R(x%2C%20y%2C%20z))
。将其代入上式，可以得到
%20%3D%20(r_%7B11%7Dx%20%2B%20r_%7B21%7Dy%20%2B%20r_%7B31%7Dz%2C%20r_%7B12%7Dx%20%2B%20r_%7B22%7Dy%20%2B%20r_%7B32%7Dz%2C%20r_%7B13%7Dx%20%2B%20r_%7B23%7Dy%20%2B%20r_%7B33%7Dz))
根据线性变换的定义，容易证明旋转变换是一种线性变换。那么，旋转变换的矩阵表示为：
%20%5C%5C%20R(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20R(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20r_%7B11%7D%20%26%20r_%7B12%7D%20%26%20r_%7B13%7D%20%5C%5C%20r_%7B21%7D%20%26%20r_%7B22%7D%20%26%20r_%7B23%7D%20%5C%5C%20r_%7B31%7D%20%26%20r_%7B32%7D%20%26%20r_%7B33%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20c%20%2B%20(1%20-%20c)x%5E2%20%26%20(1-c)xy%20%2B%20sz%20%26%20(1-c)xz%20-%20sy%20%5C%5C%20(1-c)xy%20-%20sz%20%26%20c%2B(1-c)y%5E2%20%26%20(1-c)yz%20%2B%20sx%20%5C%5C%20(1-c)xz%20%2B%20sy%20%26%20(1-c)yz%20-%20sx%20%26%20c%2B(1-c)z%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中，
分别为向量的三个分量。
