线性变换

什么是线性变换？

假设有一数学函数 $f$ ，使得三维向量 $\vec v=(x,y,z)$ ,有 $f(\vec v) = f(x, y, z) = (x',y',z')$ 。那么，如果 $f$ 满足：

$f(\vec u + \vec v) = f(\vec u) + f(\vec v)$
$f(k \vec v) = kf(\vec v)$

那么，称 $f$ 为线性变换。

线性变换的矩阵表示

$\begin{align*} f(\vec v) &= f(x \vec i + y \vec j + z \vec k) \\ &= f(x \vec i) + f(y \vec j) + f(z \vec k) \\ &= xf(\vec i) + yf(\vec j) + zf(\vec k) \\ &= [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} \end{align*}$

缩放变换

易知，缩放变换 $S(\vec v) = S(x, y, z) = (s_x x, s_y y, s_z z)$ 。那么，我们尝试证明一下它是线性变换：
$\begin{align*} S(\vec u + \vec v) &= S(u_x+v_x, u_y+v_y, u_z+v_z) \\ &= (s_x(u_x+v_x), s_y(u_y+v_y), s_z(u_z+v_z)) \\ &= (s_xu_x + s_xv_x, s_yu_y + s_yv_y, s_zu_z + s_zv_z) \\ &= (s_xu_x, s_yu_y, s_zu_z) + (s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \\ &= S(\vec u) + S(\vec v) \end{align*}$

$\begin{align*} S(k\vec v) &= S(kv_x, kv_y, kv_z) \\ &= (ks_xv_x, ks_yv_y, ks_zv_z) \\ &= k(s_xv_x, s_yv_y, s_zv_z) \\ &= kS(\vec v) \end{align*}$

综上，我们证明了缩放变换是线性变换。由之前线性变换的矩阵表示，我们可以推导缩放变换的矩阵表示为
$\begin{bmatrix} S(\vec i) \\ S(\vec j) \\ S(\vec k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix}$

旋转变换

我们定义旋转变换为将一个向量 $\vec v$ 绕任意轴 $\vec n$ 顺时针旋转 $\theta$ 角度，如图所示：

线性变换1.png

由图可知，我们要求的就是将向量 $\vec v$ 绕向量 $\vec n$ 旋转 $\theta$ 角度后得到的 $\vec v'$ 。首先，我们注意到在旋转过程中，与旋转轴平行的向量是不参与旋转过程的，只有与旋转轴垂直的向量在真正旋转。因此可以将向量 $\vec v$ 分解为与 $\vec n$ 平行的向量 $\vec v_\parallel$ 和垂直的向量 $\vec v_\perp$ 。即：
$\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp$
那么
$\vec v' = \vec v_\parallel + \vec v'_\perp$
其中，平行向量 $\vec v_\parallel$ 是向量 $\vec v$ 在旋转轴 $\vec n$ 上的投影。这里假定，旋转轴向量 $\vec n$ 是归一化过的，即单位向量。由向量投影的定义，可得到
$\vec v_\parallel = (\vec v \cdot \vec n) \vec n$
进而可得
$\vec v_\perp = \vec v - \vec v_\parallel = \vec v - (\vec v \cdot \vec n) \vec n$
接下来，我们只要求得旋转后的 $\vec v'_\perp$ 即可。注意到已知的 $\vec v_\perp$ ，且这两个向量都位于同一个圆的旋转平面上，因此只要再得到一个垂直于 $\vec v_\perp$ 的向量 $\vec w$ ，且向量 $\vec w$ 与这两个向量共面，就可以通过旋转角度 $\theta$ 算出向量 $\vec v'_\perp$ 了：
$\vec v'_\perp = \vec v_\perp \cdot cos\theta + \vec w \cdot sin\theta$
那么，怎样的 $\vec w$ 是满足以上条件的呢？注意到向量的叉积的几何意义：两向量的叉积后得到的向量与这两个向量是垂直的。所以，我们令
$\vec w = \frac{|\vec v_\perp|}{|\vec n \times \vec v|} \cdot (\vec n \times \vec v)$
向量前面的系数是为了让向量的模与 $\vec v_\perp$ 相等。这样就求出了满足条件的 $\vec w$ 。特别地，由向量叉积的定义，可以将上式简化为
$\vec w = \frac{|\vec v_\perp|}{|\vec n| |\vec v| sin\theta} \cdot \ (\vec n \times \vec v)$
由图可知， $|\vec v_\perp| = |\vec v| sin\theta$ ，而向量 $\vec n$ 是单位向量，所以得到：
$\vec w = \vec n \times \vec v$
综合以上若干等式，求出最终的 $\vec v'$ 为
$\vec v' = (\vec v \cdot \vec n) \vec n + (\vec v - (\vec v \cdot \vec n) \vec n)cos\theta + (\vec n \times \vec v)sin\theta$
回到线性变换的定义来，旋转变换 $R(\vec v) = R(x, y, z)$ 。将其代入上式，可以得到
$R(x,y,z) = (r_{11}x + r_{21}y + r_{31}z, r_{12}x + r_{22}y + r_{32}z, r_{13}x + r_{23}y + r_{33}z)$
根据线性变换的定义，容易证明旋转变换是一种线性变换。那么，旋转变换的矩阵表示为：
$\begin{bmatrix} R(\vec i) \\ R(\vec j) \\ R(\vec k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + (1 - c)x^2 & (1-c)xy + sz & (1-c)xz - sy \\ (1-c)xy - sz & c+(1-c)y^2 & (1-c)yz + sx \\ (1-c)xz + sy & (1-c)yz - sx & c+(1-c)z^2 \end{bmatrix}$
其中， $c=cos\theta, s = sin\theta, x,y,z$ 分别为向量 $\vec n$ 的三个分量。

什么是线性变换？

线性变换的矩阵表示

缩放变换

旋转变换

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