应用：二维离散傅里叶变换是将图像从空间域转至频域，在图像增强、图像去噪、图像边缘检测、图像特征提取、图像压缩等等应用中都起着极其重要的作用。
理论基础：任意函数都可以表示成正弦函数的线性组合的形式。
二维离散傅里叶变换公式如下：
式中 f(x,y) 代表一幅大小为 M x N 的矩阵，其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 ，F(u,v) 表示 f(x,y) 的傅里叶变换。可以转换为三角函数表示方法，其中 u 和 v 可用于确定正余弦的频率。 F(u,v) 所在坐标系被称为频域，由 u = 0,1,2,···,M-1 和 v = 0,1,2,···,N-1 定义的 M x N 矩阵常称为频域矩阵。f(x,y) 所在坐标系被称为空间域， 由 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 所定义的 M x N 矩阵常被称为空间域矩阵。显然频域矩阵的大小与原空间域矩阵大小相同。
频域矩阵中每个点的都代表了一个频率为 u，v 的函数，这些函数在空间域的组合即为原函数 f(x,y)。
二维离散傅里叶逆变换公式如下：
其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1。因此，给定 F(u,v) 就可以通过逆 DFT 得到 f(x,y)。
在频域原点处的值 F(0,0) 被称为傅里叶变换的直流（dc）分量，该术语源自电气工程学，意指直流电（频率为 0 的电流）。F(0,0) 等于 f(x,y) 的平均值的 MN 倍。
即使 f(x,y) 是实数，F(u,v) 通常也是复数。直观的分析一个变换的主要方法是计算它的频谱 [F(u,v) 的幅度] ，并将其显示为一幅图像。令 R(u,v) 和 I(u,c) 分别表示 F(u,v) 的实部和虚部，则傅里叶频谱定义为：
变换的相位角定义：
指数表示：
功率谱定义：
通过二维离散傅里叶变换公式可以看出，若 f(x,y) 是实数，那么其傅里叶变换 F(u,v) 关于原点共轭对称：
那么傅里叶变换幅值原点对称：
可得 DFT 周期性：
DFT 在u，v 方向上都是无穷的，周期由M和N决定。
可得 DFT 逆变换周期性：
傅里叶逆变换得到的图像也是周期无穷的。理论上的无穷，但在实际变换实现中，只需要计算一个周期矩阵即可。
注意：在计算出的二维频率矩阵后，通常为了简化频谱的视觉分析，会将原点的变换值移动到频率矩形的中心，在二维傅里叶变换之前对f(x,y) 乘以(-1)的 x+y 次方可以完成该变换。在实际处理中，只需要对生成的频率矩阵以中心（M/2,N/2）进行对角矩阵的交换即可。
在编程中的实践具体请看我在简书的另一篇文章《与OpenCV的第十天》
