寒假数论讲义一：奇偶性

寒假讲义：奇偶性

【例题1.1】：能否把前五十个正整数分成两组，使得第一组各个数的和等于第二组各个数的和？

【例题1.2】：设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{1998}$ 都是1或者-1，求证 $x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\dots+1998 x_{1998} \neq 0$ 。

【例题1.3】：一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的系数a，b，c都是奇数，证明方程没有整数根。

利用排列

【例题2.1】：甲乙两人玩扑克，甲有1-13的红桃牌，乙有1-13的梅花牌。每一轮两个人各出一张牌，然后计算牌面数之差。问是否可能13轮得到的差都是奇数?

【例题2.2】：设 $1,2,3, \cdots, 9$ 的一个排列是 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$ ，证明 $\left(a_{1}-1\right)\left(a_{2}-2\right) \cdots\left(a_{9}-9\right)$ 是一个偶数。

【例题2.3】：在黑板上写上 $1,2, \cdots, 2000,2001$ ，只要黑板上还剩下两个以上的数，就取其中两个a和b，擦去这两个数，写上 $|a-b|$ ，问有没有可能最后剩下的数是0？

【例题3.1】：已知a，b为正整数，并且a，b不全为奇数。证明存在正整数c，d，使得 $a^2+b^2+c^2=d^2$

【例题3.2】：找到所有的正整数x，y满足方程 $x^2+y^2=208(x-y)$

【例题4.1】：有n个数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 他们都是正负一，如果 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}=0$ 求证n是4的倍数。

【例题4.2】：如果 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n>4)$ 均为正负一，而且 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}+x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}+\cdots+x_{n} x_{1} x_{2} x_{3}=0$ ，求证n为4的倍数。

【例题4.3】：在 $n\times n$ 的方格表中每个格子都填上正负一，然后在每个列下面写上这个列所有数的乘积，在每个行右边写上这个行所有数的乘积。求证：这2n个乘积的和不为0。

【例题4.4】：在代数式 $r v z-r w y-s u z-s u x+t u y-t u x$ 中，九个字母都可以取正负一

证明（1）这个代数式取值永远是偶数（2）求这个代数式可以取到的最大值。

染色问题是组合数学的一支。经常需要利用奇偶性找到问题突破口。

【例题5.1】：证明15块 $4\times 1$ 的骨牌和一块 $2\times 2$ 的骨牌不能盖住 $8\times 8$ 的棋盘。

【例题5.2】：证明15块左边类型的骨牌和一块右边类型的骨牌不能盖住 $8\times 8$ 的棋盘。

【例题5.3】：在线段AB内部再取n个点，将线段AB分成n+1小段。现给每个端点随意染上红蓝两色，要求A,B两点一红一蓝。证明n+1个小线段中，端点颜色不同的线段个数一定是奇数条。

最后编辑于：2020.01.29 08:12:00

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