函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1.1 增量

设变量\mu从它的一个初值\mu_1变到终值\mu_2,终值与初值的差\mu_2-\mu_1就叫做变量\mu的增量,记作\Delta\mu,即\Delta\mu=\mu_2-\mu_1

1.2 定义

定义\quad设函数y = f(x)在点x_0的某一邻域内有定义,如果 \quad \quad \quad \quad \lim_{\Delta x\rightarrow 0} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x)] = 0.
那么就称函数y=f(x)在点x_0连续。

设函数y = f(x)在点x_0的某一邻域内有定义,如果
\quad \quad \quad \quad \lim_{\Delta x\rightarrow 0} = f(x).
那么就称函数f(x)在点x_0连续。

二、函数的间断点

设函数 f(x)在点x_0的某去心邻域内有定义。在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:
(1)在x = x_0没有定义;
(2)虽在x=x_0有定义,但\lim_{x\rightarrow 0}f(x)不存在;
(3)虽在x=x_0有定义,且\lim_{x\rightarrow 0}f(x)存在,但\lim_{x\rightarrow 0}f(x) \neq f(x_0),
那么函数 f(x)在点x_0为不连续,而点x_0称为函数 f(x)的$不连续点或间断点。

其中分为无穷间断点、振荡间断点、可去间断点、跳跃间断点。
如果x_0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x_0^-)及右极限f(x_0^+)都存在,那么x_0称为函数f(x)的第一类间断点。
不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点。

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