定义 压缩映射 设
是度量空间，
是 到 中的映射，如果存在一个数 
, 
, 使得对所有的 
%20%5Cleq%20%5Calpha%20d(x%2Cy)%2C)
则称T是压缩映射.
定理1 压缩映射定理（不动点定理） 压缩映射有唯一的不动点.
设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（也就是说，方程
有且只有一个解）.
证明 略.
定理2 隐函数存在定理 设函数)
在带状区域
中处处连续，且处处有关于y的偏导数)
. 如果还存在常数m和M，满足%20%5Cleq%20M)
, 
,
则方程%3D0)
在区间![[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba%2Cb%5D)
上必有唯一的连续函数)
作为解，即
![f(x,\varphi(x))\equiv0, x \in [a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=f(x%2C%5Cvarphi(x))%5Cequiv0%2C%20x%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D)
证明 在完备空间 ![C[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=C%5Ba%2Cb%5D)
中作映射 
, 使得对任意的函数![\varphi \in C[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvarphi%20%5Cin%20C%5Ba%2Cb%5D)
, 有 (x)%3D%5Cvarphi(x)-%5Cfrac1M%20f(x%2C%5Cvarphi(x)))
. 按照定理条件, 是连续的, 因此(x))
也连续, 即![A\varphi \in C[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=A%5Cvarphi%20%5Cin%20C%5Ba%2Cb%5D)
. 所以是到自身的映射.
现在证明A是压缩映射. 任取![\varphi_1, \varphi_2 \in C[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvarphi_1%2C%20%5Cvarphi_2%20%5Cin%20C%5Ba%2Cb%5D)
, 根据微分中值定理, 存在
, 满足
![\begin{align*}&|(A\varphi_2)(x)-(A\varphi_1)(x)|\\=& |\varphi_2(x)-\frac 1M f(x,\varphi_2(x))-\varphi_1(x)+\frac 1M f(x,\varphi_1(x))|\\=& |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)-\notag \\ &\frac 1M f_y'[x,\varphi_1(x)+\theta(\varphi_2(x)-\varphi_1(x))]\cdot (\varphi_2(x)-\varphi_1(x))| \qquad\text{(Lagrange)}\\&\leq |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|(1-\frac mM).\end{align*}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Balign*%7D%26%7C(A%5Cvarphi_2)(x)-(A%5Cvarphi_1)(x)%7C%5C%5C%3D%26%20%7C%5Cvarphi_2(x)-%5Cfrac%201M%20f(x%2C%5Cvarphi_2(x))-%5Cvarphi_1(x)%2B%5Cfrac%201M%20f(x%2C%5Cvarphi_1(x))%7C%5C%5C%3D%26%20%7C%5Cvarphi_2(x)-%5Cvarphi_1(x)-%5Cnotag%20%5C%5C%20%26%5Cfrac%201M%20f_y'%5Bx%2C%5Cvarphi_1(x)%2B%5Ctheta(%5Cvarphi_2(x)-%5Cvarphi_1(x))%5D%5Ccdot%20(%5Cvarphi_2(x)-%5Cvarphi_1(x))%7C%20%5Cqquad%5Ctext%7B(Lagrange)%7D%5C%5C%26%5Cleq%20%7C%5Cvarphi_2(x)-%5Cvarphi_1(x)%7C(1-%5Cfrac%20mM).%5Cend%7Balign*%7D)
由于
, 所以令
, 则有, 且
(x)-(A%5Cvarphi_1)(x)%7C%5Cleq%20%5Calpha%20%7C%5Cvarphi_2(x)-%5Cvarphi_1(x)%7C)
按中距离的定义, 即知
%20%5Cleq%20%5Calpha%20d(%5Cvarphi_2%2C%20%5Cvarphi_1))
因此 是压缩映射. 由压缩映射原理, 存在唯一的, 满足
, 即%20%5Cequiv%5Cvarphi(x)-%5Cfrac1M%20f(x%2C%5Cvarphi(x)))
. 因此,
![f(x,\varphi(x))\equiv0,\quad \forall x\in [a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=f(x%2C%5Cvarphi(x))%5Cequiv0%2C%5Cquad%20%5Cforall%20x%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D)
证毕.
