奇偶校验

奇偶校验（Parity Check）是一种在数据传输过程中用来检测传输出错的校验方法之一。其基本原理是在每一个数据块的末尾添加一个校验位，使得所有数据块中“1”的个数（或“0”的个数）为奇数（或偶数）。在数据接收端，再次对接收到的数据计算奇偶值，并将计算结果与发送端传输的奇偶位进行比对，如果接收到的奇偶值与发送端传输的奇偶位不同，说明传输过程中发生了错误。

下面举个简单的例子：

假设我们要传输一个8位的二进制数字10101110，
其中1表示高电平（或逻辑真），0表示低电平（或逻辑假）。
为了增加数据传输的可靠性，我们需要通过奇偶校验来检测传输出错的情况。
这时，我们可以在该数字的末尾添加一个校验位，使得整个数据块中包含的“1”的个数为偶数或奇数。
这里我们选择奇数作为校验方式，因此添加的校验位应该是一个“1”，这样整个数据块中包含的“1”的个数就变成了5个，也就是奇数。

因此，经过奇偶校验处理后，该数字变成了101011101，其中末尾的“1”就是添加的校验位。在数据接收端，我们读取传输过来的8位数字以及末尾的奇偶校验位，然后计算这9个二进制数字中包含的“1”的个数是否为奇数，如果是，则说明传输正常，否则说明传输出错。

需要注意的是，奇偶校验并不能检测到所有的传输错误，例如如果在传输过程中多个二进制数字位同时发生了错误，则可能无法被检测出来。因此，在实际应用中，还需要结合其他校验方法（如CRC校验）来提高传输可靠性。

循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check，CRC）

是一种常用的数据传输错误检测技术，它通过对数据位进行计算和附加校验码来判断数据是否出错。该方法通过对原始数据位串进行二进制多项式除法运算，生成固定长度的校验码，并将其附加到数据序列末尾一起传输。在接受端，再次进行相同的多项式除法运算和校验码计算，如果计算结果与附加的校验码匹配，则说明数据没有发生错误。

下面举个简单的例子，来说明CRC是如何工作的：

假设我们要传输一个8位的二进制数字10101110，其中1表示高电平（或逻辑真），0表示低电平（或逻辑假）。我们需要通过CRC来较准确的检测传输过程中的数据出错情况。这里使用简单的比特流模式实现CRC校验：

1.首先，需要选择一个多项式作为校验码生成器（Generator），通常在数据通信应用中采用的多项式如CRC16、CRC32等。例如，这里我们选择一个简单的4位二进制多项式：x³ + x + 1，转化为二进制表示为：0b10011。

2.然后，在原始数据位串的末尾添加比生成多项式所需的比特位数（这里是4个），并设置为比特位值全为0。这时，发送数据变成了：101011100000。

3.接下来，将生成多项式除以原始数据位串加上4个填充比特位所组成的二进制数。这里我们使用异或运算（XOR）实现除法，即在每一步中将除数和余数进行异或运算，直到最后得到余数。具体的计算步骤如下：

第一步，将生成多项式左移到最高位对准数据位串的最高位，此时异或的结果为：1010101101。
第二步，将异或的结果右移一位，再次与生成多项式进行异或运算，此时的结果为：111111010。
第三步，继续执行第二步操作，此时的结果为：111100110。
最后，将生成的余数附加在原数据位串的末尾，发送的数据就变成了：101011101100。
4.在接收端，采用与发送端相同的生成多项式进行校验码计算。如果接收到的数据没有发生错误，则计算得到的余数应该为0。否则，说明接收到的数据发生了错误。

需要注意的是，CRC校验虽然可以有效地检测大多数的通信错误，但并不能保证绝对的准确性。因此，在实际应用中，还需要结合其他校验方法（如奇偶校验）来提高传输可靠性

海明码

海明码（Hamming Code）是一种基于二进制纠错编码技术的错误检测和纠正方法。它能够检测单个比特中的差错，并且能够在校验位的帮助下对1位引起的错误进行纠正。海明码编码时通过对原数据进行特殊的位操作生成冗余信息（即校验位），并在传输过程中用这些信息进行错误检测和纠正。

下面我们举个例子，来说明海明码是如何工作的：

假设我们要传输一个4位二进制数字1001，其中1表示高电平（或逻辑真），0表示低电平（或逻辑假）。首先，我们需要确定奇偶校验位的数量，以及使用哪些比特位来表示这些校验位。在海明码中，奇偶校验位的数量等于原始数据位串中R的值，公式为：2^R >= K+R+1，其中K为原始数据位串中的比特数，R为校验位的数量。在本例中，K=4，因此我们选择3个校验位。然后，我们需要将这些校验位插入到原始数据位串的某些位置，具体规则如下：

1.确定每个校验位对应的位置：对于位置编号p（从1开始），如果p是2的幂次方，则该位置是一个校验位，否则是一个数据位。

2.计算每个校验位的值：对于编号为2^{i的位置，第i个校验位的值是由第p个位置到第p+2}i-1个位置的比特位异或操作得到的。

例如，在本例中，我们选择以下4个位置：

位1：D1（数据位）
位2：P1（奇偶校验位）
位3：D2（数据位）
位4：P2（奇偶校验位）
位5：D3（数据位）
位6：D4（数据位）
位7：P3（奇偶校验位）
按照上述规则计算每个校验位的值，我们可以得到海明码为：0111001。注意，最后一个校验位的值和前两个不同，因为它覆盖了所有偶数位置的比特位。

在传输过程中如果发送过程中某一位变成了0，则接收端收到的数据可能是：0101001。这时，我们需要对接收到的数据进行校验和纠错。首先，计算每个校验位的值，并与接收到的数据进行比较。如果校验位的值与接收到的数据不相等，则说明该校验位存在差错。然后，通过差错位所代表的位置确定受影响的比特位，并将其取反。例如，在本例中我们可以通过校验位P3的值不匹配，确定第7个比特位是错误的，并将其由1改为0，得到正确的原始数据位串1001。

综上所述，海明码通过构建冗余信息实现了单错位纠错和多错位检测的功能，具有比奇偶校验更强的纠错能力。但在实际应用中，海明码的计算复杂度较高，且需要传输更多的比特位，因此并不是所有场景都适合使用。