一、资产组合理论简介

现代资产组合理论

马科维茨（Harry Markowitz）观点：

回报率和风险同样重要，一般来说要想收获更高的回报率，就要承担更大的风险。
能够减小风险并且不损失太多回报的唯一方法就是分散化投资。
马科维茨的框架下，分散化的收益取决于，给定风险目标下证券之间的相关性。

William Sharp之后提出了资本资产定价模型，将证券定价和资产组合很好地联系起来。

背景设定

市场中有 $N\geq2$ 种资产。
投资者财富上限为 $W$ 。
目标是要在给定财富限额的条件下做“最好的”投资。
采取“持有到期策略”，也就是在持有期之间不进行买卖。
对于第 $i$ 项资产投资的权重为 $w_i$
$w_i = \frac{\text{第i项资产的市值}}{\text{资产组合总市值}}$

现代资产组合理论核心设定

风险资产

所有风险资产由以下几个特征确定

第i项资产的期望回报率为 $\mu_i$
第i项资产的回报率的标准差为 $\sigma_i$
第i项和第j项资产的相关系数为 $\rho_{ij}$

回报率的分布是椭圆型（常见的有正态分布）

无风险资产（RFA）

假如银行A没有任何违约风险，那么你在银行A中的存款就是一种无风险资产。对于无风险资产，有这样一些设定：

无风险资产的期望回报率，或者叫无风险利率为R
无风险资产的波动性（标准差）为0
无风险资产和其他任何资产的相关系数都为0

模型目标

现代资产组合理论其实就是要解决一个均值方差的优化问题：

给定风险限制下收获最高的回报率
给定收益目标承担最小的风险（方差）

两个简单情形

一个风险资产+一个无风险资产

记风险资产为A，期望回报率为 $\mu_A$ ，标准差为 $\sigma_A$ ，权重为 $w_A$ 。
资产组合的期望回报率为 $\mu_{\Pi}$ ，标准差为 $\sigma_{\Pi}$

output_10_0.png

因此投资组合的期望回报率和标准差为：
$\begin{align} &\mu _{\Pi}=w_{A}\mu _{A}+\left( 1-w_{A}\right) R=R+w_{A}\left( \mu _{A}-R\right) \\ &\sigma_{\Pi} = w_A \sigma_A \end{align}$

我们知道投资组合在图像上看其实就是无风险资产和风险资产A的线性组合，所有可能的投资组合的点构成了上图中的红线。在RFA点 $w_A=0$ ，在Asset A点 $w_A=1$ ，在RFA点 $w_A=0$ 和Asset A点之间 $0<w_A<1$ 。在Asset A点右侧红线上表示借无风险资产买风险资产A，此时 $w_A>1$ 。

两个风险资产

风险资产A：期望回报率为 $\mu_A$ ，标准差为 $\sigma_A$ ，权重为 $w_A$ 。
风险资产B：期望回报率为 $\mu_B$ ，标准差为 $\sigma_B$ ，权重为 $w_B$ 。
资产组合的期望回报率为 $\mu_{\Pi}$ ，标准差为 $\sigma_{\Pi}$
两个风险资产回报率的相关系数为 $\rho_{AB}$

output_18_0.png

因此投资组合的期望回报率和标准差为：
$\begin{align} &\mu _{\Pi}=w_{A}\mu _{A}+\left( 1-w_{A}\right) \mu_B=\mu_B+w_{A}\left( \mu _{A}-\mu_B\right) \\ &\sigma_{\Pi} = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2\rho_{AB}w_A w_B \sigma_A\sigma_B} \end{align}$

此时 $\sigma_{\Pi}$ 是 $\mu_{\Pi}$ 的二次函数，图中蓝色虚线部分即表示所有可能的投资组合的集合，我们称之为机会集(Opportunity Set)。投资组合标准差最小的点，我们称之为最小方差组合(GMVP, Global Minimum Variance Portfolio)。

资产组合理论（一）