圆锥曲线(1)

圆锥曲线

椭圆
定义: 到两定点的距离之和为定值的点的轨迹.

$\displaystyle\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0)$ 焦点在 $x$ 轴上.

设 $F_1$ 为左焦点， $F_2$ 为右焦点， $P$ 为椭圆上一点

离心率: $\displaystyle e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\;(0<e<1)$
离心率与形状的关系
设 $\angle F_1F_2P=\alpha,\,\angle F_2F_1P=\beta$
$e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}$
长轴: $2a$
短轴: $2b$
焦点: $(-c,0),\;(c,0)$
焦距: $2c$
面积: $S=\pi ab$
焦点三角形: $\displaystyle\triangle F_1PF_2$
焦点三角形面积: $S=b^2\tan\frac{\theta}{2}\;(\angle F_1PF_2=\theta)$
$a^2=b^2+c^2$
$4c^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\cos\theta$

过椭圆上一点 $P_0(x_0,\,y_0)$ 的切线为
$\displaystyle\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$
离心率相同的椭圆 $\displaystyle\dfrac{x^2}{(ma)^2}+\dfrac{y^2}{(mb)^2}=1$

$a-c\leqslant|PF_1|\leqslant a+c$

试

1

设 $F_1,\,F_2$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点， $M$ 是 $F_2P$ 的中点， $|PM|=3$ ，则 $P$ 点到椭圆左焦点的距离为______.

解:
由题意知 $|PM|=\dfrac{1}{2}|PF_2|=3\Rightarrow|PF_2|=6$
$\therefore |PF_1|=2a-|PF_2|=4.$

2

曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 与曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{25-k}+\dfrac{y^2}{9-k}=1\;(k<9)$ 的（）
$A.$ 长轴长相等
$B.$ 短轴长相等
$C.$ 离心率相等
$D.$ 焦距相等

解:
因为
$c_1^2=25-9=16,$
$c_2^2=(25-k)-(9-k)=16,$
所以 $c_1=c_2$ ,
所以两个曲线的焦距相等.
选 $D$ .

3

已知圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 经过椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 和上顶点 $B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为______.

解:
由题意得，椭圆的右焦点 $F$ 为 $(c,0)$ ，上顶点 $B$ 为 $(0,b)$ . 因为圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 经过右焦点 $F$ 和上顶点 $B$ ，所以

$\begin{cases} (c-1)^2+1=2\\ 1+(b-1)^2=2\\ \end{cases}$

解的 $b=c=2$ ，则 $a^2=b^2+c^2=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$
所以椭圆 $C$ 的离心率为 $e=\dfrac{c}{e}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

4

设 $F_1,\,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆上，且 $|\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}|=2\sqrt{3}$ ，则 $\angle F_1PF_2$ 等于______.

解:
$\because \overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}=2\overrightarrow{PO}$
$\therefore |\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}|=2|\overrightarrow{PO}|=2\sqrt{3}\Rightarrow |\overrightarrow{PO}|=\sqrt{3}$
又 $c^2=4-1=3\Rightarrow c=\sqrt{3}$
$\therefore |\overrightarrow{OF_1}|=|\overrightarrow{OF_2}|=|\overrightarrow{PO}|=\sqrt{3}$
$\therefore \triangle F_1PF_2$ 为直角三角形.
$\therefore \angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{2}.$

5

设椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,\,F_2$ ，点 $P$ 在椭圆上，且满足 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=9$ ，则 $|PF_1|\cdot|PF_2|$ 的值为______.

解:
由椭圆方程可知 $c^2=4$ ，所以 $|F_1F_2|=4$
设 $|PF_1|=m,\,|PF_2|=n,\,\angle F_1PF_2=\theta$
由余弦定理得
$4c^2=m^2+n^2-2mn\cos\theta$
$4c^2=(m+n)^2-2mn\cos\theta-2mn=16$
又 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=9$
$\therefore \overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=|PF_1|\cdot|PF_2|\cos\theta=mn\cos\theta=9$
$\therefore (m+n)^2-2mn\cos\theta-2mn=64-2\cdot9-2mn=16$
$\therefore mn=15.$

6

焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为______.

解:
由题意知 $\begin{cases} 2c=8\\ \dfrac{c}{a}=\dfrac45 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5\\ c=4 \end{cases} \Rightarrow b=3$
当焦点在 $x$ 轴上时，椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$

当焦点在 $y$ 轴上时，椭圆方程为 $\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{9}=1$

7

若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点在 $x$ 轴上，过点 $(2,1)$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，切点分别为 $A,\,B$ ，直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为______.

解:
设切点坐标为 $(m,n)$ .
则 $\dfrac{n-1}{m-2}\cdot\dfrac{n}{m}=-1$ .
即 $m^2+n^2-n-2m=0$ .
又 $m^2+n^2=4,$
$\therefore 2m+n-4=0$ .
即直线 $AB$ 的方程为 $2x+y-4=0$ ,
又直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
$\therefore 2c-4=0,\;b-4=0,\Rightarrow c=2,\;b=4,$
$\therefore a^2=b^2+c^2=20$
$\therefore$ 椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$

8

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与椭圆 $C_2:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相交于 $A,\,B,\,C,\,D$ 四点，若椭圆 $C_1$ 的一个焦点 $F(-\sqrt{2},0)$ ，且四边形 $ABCD$ 的面积为 $\frac{16}{3}$ ，则椭圆 $C_1$ 的离心率 $e$ 为_______.

解:
联立 $\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\ \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1, \end{cases}$

两式相减得 $\dfrac{x^2-y^2}{a^2}=\dfrac{x^2-y^2}{b^2}.$ 且 $a\not=b$
$\therefore x^2=y^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，面积为 $\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{16}{3}\quad(1)$
又由题意得 $a^2=b^2+2$ ，将其带入（1）整理得 $3b^4-2b^2-8=0$
得到 $b^2=2\Rightarrow a^2=4$
所以椭圆 $C_1$ 的离心率为 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

9

设 $P,\,Q$ 分别是圆 $x^2+(y-1)^2=3$ 和椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的点，则 $P,\,Q$ 两点间的最大距离是______.

解:
由圆得性质可知， $P,Q$ 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径 $\sqrt{3}$ ，设 $Q(x,y)$ ，则圆心 $(0,1)$ 到椭圆上点的距离为

$d=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{-3y^2-2y+5}=\sqrt{-3\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{16}{3}}$

$\because -1\leqslant y\leqslant1$
$\therefore$ 当 $y=-\dfrac{1}{3}$ 时， $d$ 取到最大值 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
$\therefore P,Q$ 两点间的最大距离为 $d_{max}+\sqrt{3}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

10

已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 $F_1,F_2$ 的坐标分别为 $(3,0)$ 和 $(-3,0)$ .
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若 $P$ 为短轴的一个端点，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积.

解:
(1) 设椭圆方程的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0)$ ,
依题意得 $\begin{cases} 2a=10\\ c=3\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5\\ c=3\\ \end{cases}\Rightarrow b=4$
所以椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$

(2) 易知 $|y_p|=4$ ，又 $c=3$ ,
所以 $S_{\triangle F_1PF_2}=\dfrac12\times|y_p|\times2c=\dfrac12\cdot4\cdot6=12$ .

11

(2019 上海卷 T9) 已知 $F_1F_2$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $PF_1\bot PF_2$ , 若 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为9，则 $b$ =______.

解:
$\triangle PF_1F_2$ 为焦点三角形，
$\therefore S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=9$
又 $\theta=\angle F_1PF_2=90^{\circ}$
$\therefore b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=b^2=9\Rightarrow b=3.$

双曲线
定义: 定义: 到两定点之差的绝对值为定值的点的轨迹.

$\displaystyle\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

抛物线
定义: 到定点与定直线的距离相等的点的轨迹.

补充

$\displaystyle\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}=\dfrac{b+d}{a+c}$

焦点三角形面积公式

椭圆中焦点三角形面积: $S=b^2\tan\frac{\theta}{2}\;(\angle F_1PF_2=\theta)$

证明:
对于焦点三角形 $\triangle F_1PF_2$ ，设 $|PF_1|=m,\,|PF_2|=n$ ,
有 $m+n=2a$
在 $\triangle F_1PF_2$ 中用余弦定理，有

$(F_1F_2)^2=m^2+n^2-2mn\cos\theta$
即
$\begin{aligned} 4c^2 =&m^2+n^2-2mn\cos\theta+2mn-2mn\\ =&(m+n)^2-2mn(\cos\theta+1)\\ =&4a^2-2mn(\cos\theta+1)\\ mn =&\dfrac{4a^2-4c^2}{2(\cos\theta+1)}\\ =&\dfrac{2b^2}{\cos\theta+1} \end{aligned}$

又
$\begin{aligned}S_{\triangle F_1PF_2} =&\dfrac{1}{2}\cdot mn\cdot\sin\theta\\ =&\dfrac{b^2\sin\theta}{\cos\theta+1}\\ =&\dfrac{b^2\cdot2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}}{2\cos^2\dfrac{\theta}{2}}\\ =&\dfrac{b^2\sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\dfrac{\theta}{2}}\\ =&b^2\tan\dfrac{\theta}{2} \end{aligned}$

最后编辑于：2019.11.10 15:00:31

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,142评论 6赞 498
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,298评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,068评论 0赞 351
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,081评论 1赞 291
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,099评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,071评论 1赞 295
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,990评论 3赞 417
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,832评论 0赞 273
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,274评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,488评论 2赞 331
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,649评论 1赞 347
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,378评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,979评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,625评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,796评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,643评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,545评论 2赞 352

圆锥曲线(1)

圆锥曲线

试

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

补充

焦点三角形面积公式

推荐阅读更多精彩内容