1.基础测试

好的，下面从《复习全书基础篇-线代学习册》为你抽取核心题目，按章节和难度分级，形成一份数学二线性代数基础阶段能力测试卷。每题均标注出处。

基础阶段能力测试卷（数学二·线性代数）

测试说明：共15题，建议用时90分钟。题目全部选自复习全书例题/练习题，覆盖数学二必考的六大章节。"向量空间"相关内容不考，已略去。

第一章行列式

1. （例1，第20页）四阶行列式
$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

2. （例7，第25页）计算
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第二章矩阵

3. （例3，第44页）已知 $\alpha = (1,2,3)^{\mathrm{T}},\beta = (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})^{\mathrm{T}}$ ，设 $A = \alpha\beta^{\mathrm{T}}$ ，则 $A^{n} = \_\_\_\_\_\_$

4. （例6，第48页）若 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ ，则 $A^{-1} = \_\_\_\_\_\_$

5. （例9，第49页）A是n阶矩阵，满足 $A^{2} - 3A - 2E = O$ ，则 $(A+E)^{-1} = \_\_\_\_\_\_$

6. （例16，第55页）已知 $A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix}$ 与 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & -3 \end{bmatrix}$ 等价，则 $a = \_\_\_\_\_\_$

第三章向量

7. （例7(1)，第77页）已知 $\alpha_1 = (1,3,2)^{\mathrm{T}},\alpha_2 = (-1,1,2)^{\mathrm{T}},\alpha_3 = (0,a,3)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，求 $a$ 。

8. （例9，第78页）向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是：
(A) $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$
(B) $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$
(C) $\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$
(D) $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_1-3\alpha_2+22\alpha_3,3\alpha_1+5\alpha_2-5\alpha_3$

9. （例14，第82页）已知 $\alpha_1 = (1,2,-1,1),\alpha_2 = (2,0,t,0),\alpha_3 = (0,-4,5,-2)$ 的秩为2，则 $t = \_\_\_\_\_\_$

10. （例21，第88页）与向量 $a_1 = (1,3,2)^{\mathrm{T}},a_2 = (1,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 都正交的单位向量是______

第四章线性方程组

11. （例1，第103页）求齐次方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + 3x_4 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 - x_3 + 5x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases}$ 的基础解系和通解。

12. （例12，第109页）设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是四元非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的3个解向量，且秩 $r(A) = 3$ ， $\alpha_1 = (1,2,3,4)^{\mathrm{T}},\alpha_2+\alpha_3 = (0,1,2,3)^{\mathrm{T}}$ ，则 $Ax = b$ 的通解是______

第五章特征值和特征向量

13. （例1，第123页）求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 17 & -2 & -2 \\ -2 & 14 & -4 \\ -2 & -4 & 14 \end{bmatrix}$ 的特征值与特征向量。

14. （例10，第129页）已知 $A \sim B$ ，若 $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$ ，则 $|B+E| = \_\_\_\_\_\_$

第六章二次型

15. （例14，第157页）判别二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 的正定性。

参考答案与解析要点

题号	答案	考查核心
1	$abcd$	行列式定义（逆序数）
2	$-3$	行列式性质+展开
3	$3^{n-1}A$	矩阵幂运算技巧
4	$\begin{bmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	初等变换求逆矩阵
5	$\frac{1}{2}(4E-A)$	定义法求逆（抽象矩阵）
6	$-2$	等价与秩的关系
7	$a = 3$	线性相关的行列式判定
8	(C)	线性无关的判别法
9	$t = 3$	向量组秩的计算
10	$\pm\frac{1}{\sqrt{21}}(4,-2,1)^{\mathrm{T}}$	正交向量求法
11	基础解系 $\eta_1 = (8,-6,1,0)^{\mathrm{T}},\eta_2 = (-7,5,0,1)^{\mathrm{T}}$ ；通解 $k_1\eta_1+k_2\eta_2$	基础解系与通解
12	$(1,2,3,4)^{\mathrm{T}} + k(2,3,4,5)^{\mathrm{T}}$	解的结构（特解+导出组）
13	$\lambda_1=\lambda_2=18$ 时 $\alpha_1=(-2,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(-2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ； $\lambda_3=9$ 时 $\alpha_3=(1,2,2)^{\mathrm{T}}$	特征值/向量完整计算
14	$64$	相似矩阵的性质
15	正定（特征值或顺序主子式判定）	正定性判定