陈定学(黑光)

内容摘要：从符号组合角度看，每个自然数都是由组合码和元序列码两部分组合而成；所有进制的数体系，都遵循着相同的符号组合原理；自然数的符号组合模式有”左组合码＋右元序列码”和”左元序列码＋右组合码”两种。

”有限个实物构成的元序列＋元序列符号的无限次组合“是构造自然数体系的方法、逻辑，”实物元序列”给出了自然数基序产生的自然之源，”元序列符号的无限次组合”则揭示了自然数体系通过符号组合”虚构基序”的奥妙，揭示了自然数体系从有限数体系演变为无限数体系的原因。也解释了罗马数、我国古数、巴比伦数等古数为什么未能发展成为合格数体系的原因。

关键词：符号组合规律；元序列；组合码；元序列码；组合模式；

<一>、自然数的符号组合之惑

自然数是通过符号表达”基序”信息的（”基”指自然数的基数，”序”指序数，下文中为了阐述的流畅，常把自然数的基数性、序数性合二为一统称为”自然数的基序”），从这意义上说，自然数体系是一套符号体系。当前，虽然用阿拉伯数字符号构造的十进制数体系已被数学界确立为全人类的通用数体系，但是数学界对于自然数(符号）体系的构造原理却鲜有论及。

如果在知乎或百度上有奖提问十进制数8，9的后继为什么是用1和0两个符号的左右组合成的”10”？能不能用”00”组合或”01”组合或”11”组合呢？恐没有人能给出明确的回答。

众所周知，当前的十进制数体系是人类在漫长的生活实践中摸索着慢慢建立起来的，8，9的后继用”10”之所以被广泛接受，并不是因为这样组合基于了某种既有的、明确的构造逻辑或方法原理，而是因为这样组合构造的序列及数关系，能够被人类的生活实践验证为正确(譬如人们通过3个4相加的和与2个6相加的和相等，——都等于12，从而判定8，9的后继序列10，11，12，13……是正确的），所以就这么约定俗成固定下来了，至于为什么这样组合，组合的方法原理是什么，是否还有其它组合方法等问题，数学界至今未见论及。

<二>明确自然数符号组合原理的意义

自然数序列是一套严密的符号关系体，具有有序性、传递性〔1〕等鲜明的逻辑结构。任意两个自然数之间，必然是”大于”和”小于”的包含与被包含关系，绝不会出现”等于”或”无关系”的情形，可见，自然数体系是一套严密的符号系统，这样的符号系统不可能没有同一性的构造规律。

从认识论角度明确自然数及其序列的构造性原理是必要的，不仅能从原理上明确十进制数体系中8，9的后继为什么是10(实际上也可以是”01”，见4.3章节），从符号学角度弄懂自然数体系的构造性原理，也能明确很多数学基础问题。譬如”0是不是自然数”这个至今争议不定[2]的问题，在本文视角看来，0是元序列中的打头号，具有“始发”、”空位“、“观察点”三种内涵[3]，0毫无疑问是自然数(符号）体系中的一员。

除了以上显见的表层意义外，本文还有以下三方面重要意义。

1、本文明确了自然数及其序列的符号组合原理，为设计各种高进制数体系提供了有力的方法论工具(详见5.1章节）；

2、本文解决了自然数体系如何从有限数体系跃迁为无限数体系的认识论问题(见5.2章节）；

3、本文立足自然数体系的构成性原理，从符号的形体结构上解释了为什么几乎所有的古数体系都未发展成为合格数体系的原因(见5.3章节）。

<三>、”元序列”是自然数体系是核心要素

在没讲解自然数的符号组合规律之前，笔者认为有必要铺垫性地提出一些有助于解构自然数体系的概念，先从”元序列”概念说起。

3.1、元序列

任何符号、任何进制的自然数体系的构造，最初都是从元序列的构造开始的。所谓“元序列”，是指构造者用自定义选择的两个或两个以上的符号，在一维空间上对它们的排列位置作定格固定后，所形成的一组静态的符号序列。

(笔者在下文中用单书名号”〈〉号把组成元序列中的符号括起，作为对元序列的标记）

构造元序列的符号是广义的，实物、字符、图形、图像等，但凡视觉上有封闭轮廓的形相物个体都是符号，都可以用来构造元序列，譬如用三维空间中排成一排的马、牛、羊三个实物，以及一个表示空地、空位的字符“0“[4](详见《自然数体系的符号学原理》4.3章节、4.4.2.1章节、第五章节），就可以构造出一个元序列〈0，马，牛，羊〉，构造者根据这个元序列，按照笔者给出的自然数的符号组合原理(见本文第四章节），就可以构造出一套四进制的数体系。譬如用阴爻（—）、阳爻（- -）二种符号纵向排列[5]（从上到下还是从下到上，由构造者自定义），并可构造成元序列”〈二〉”（打不出一下一上格式的阴爻、阳爻，用”二”代替），用此元序列并可构造一套二进制数体系。这里需要说明一下：元序列在一维空间上并非只能横排列，根据符号形态以及排列意图，也可以纵向或者斜向排列，只要在一条直线上排列都可以。我国的易经八卦系统由阴爻和阳爻两种符号构成，所以八卦的卦象也可以作二进制数解读，下图中的八卦数是自下而上排列式的（坤卦在下图中是从下往上纵向排列的，即上面给出的八卦二进制数的元序列〈二〉中，”- -”在下，”—”在上）。由于易经八卦在设计上前提限制了爻的排列位（只限于三位），所以八卦只能有2^3=8个卦，这里的2指阴、阳二种符号，3指三个排列位（相当于三个二进制数的数阶，见下图）。若给于6个排列位，阴爻、阳爻两种符号穷尽组合，并可以组合出2^6=64种不重复且穷尽的组合型态，把这些组合型态按固定的顺序有序排列，并是以阴、阳爻为元序列构成的二进制数序列的前64个，若把排列位为扩充为7位，并可以组合出2^7=128个二进制数，在易经八卦系统意义上说，即可构造出128卦。

综上所述可见，元序列是构造数体系的唯一原始材料，元序列举例：莱布尼茨二进制数体系的元序列是〈0，1〉，当前通用十进制数体系的元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉；十六进制的元序列可以是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，a，b，c，d，e，f〉。

元序列是自然数体系”生长展开的种子、基因”，自然数的一切性质皆来自元序列，元序列的性质有以下几方面:

3.1·1、元序列是进制数的定义者

一般而言，元序列中有多少个符号，就能构造出多少进制的自然数体系〔4〕，譬如0、1二进制数体系用0和1两个符号构造的，所以是二进制，十进制数用0~9十个符号作元序列构造的，所以是十进制。

3.1.2、元序列是自然数个体基序产生的本源

自然数的基序内涵及本质，都是基于元序列符号之间的空间位置关系推导出的，给出任一元序列(几个书面符号的固定排列，或自然界中的一排树、一排房屋的静态排列），就可以按进制的数阶倍率关系，推算出用这种元序列构造的任一自然数个体(某种组合型态）所表示的基序内涵，譬如在用〈上，中，下〉作元序列构造的三进制数体系中，”下中下上”这个三进制自然数与十进制自然数69是等价的，——即”下中下上”这个组合，是元序列〈上，中，下〉按自然数的符号组合规律(见第四章节），从”上上”组合开始，组合、排列到第69次时所形成的组合型态，（3^3х2+3^2х1+3^1х2+3^0×0=69)。反之，我们也可以把任一十进制自然数转换为某种元序列的非十进制自然数，譬如随机给出一个十进制数”81”，这个数在元序列〈a，b，c，d，e〉的五进制数体系中，相当于组合型态”dbb”(5^2х3+5^1х1+5^0х1=81）；在〈东，西，南，北〉四进制数系中，81则相当于组合型态”西西东西”表示的基序(4^3×1＋4^2×1＋4^1×0＋4^0×1=81）。

3.2、组合码、元序列码

自然数只能以符号形式被人类识别应用，自然数都是用符号构造的，具体说每一个自然数都是由”组合码”和”元序列码”两部分组合而成，所谓”元序列码”，指元序列中的符号。即在任一自然数末位上出现的那个符号，元序列码只占用末位一个数阶，除了末位上的元序列码，其它数阶上的符号合在一起统称为”组合码”(单符号阶段的自然数，组合码是元序列中的打头号，例如十进制数3的组合形式是”03”），以十进制自然数”5692”为例，它是由组合码”569”和右侧末位上的元序列码”2”两部分组合而成。

元序列码和组合码都来自元序列，组合码最初借用元序列码，直至元序列码用完后，在已经生成的自然数序列中生成了组合码序列后，组合码才与元序列码区别开来，所以笔者上文说元序列是自然数及其序列产生的母体、生产者。

<四>、自然数及其序列的构造性原理

交代完了元序列概念以及派生的组合码、元序列码等概念，就可以通过这些概念直观地讲解自然数及其序列构造的符号组合规律了。

自然数及其序列的构造步骤、法则：先用元序列中的第一个符号作为组合码和元序列中的所有符号依次左右组合并按序排列，然后再用元序列中的第二个符号作为组合码与元序列中的所有符号依次组合并依次承接排列，如此反复操作，当元序列中的所有符号都两两组合穷尽后，再用前期已组合生成的自然数序列（也是组合码序列），继续与元序列中的元序列码组合并依次承接排列，如此不断操作，并可依次生成所有自然数个体及序列”。

(说明：以上陈述的构造原理是当前自然数采用的”左组合码码＋右元序列码”组合模式，”左元序列码＋右组合码”模式也可以构造自然数，见本文4.3章节）。

4.1、以0、1二进制数的构造为例，讲解以上陈述的自然数体系的构造原理

为了便于区别组合码和元序列码，以及直观呈现组合码和元序列码是如何组合构造自然数及其序列的，笔者下文开始把组合码打成黑体作标注。

0、1二进制自然数的元序列是〈0，1〉，构造0、1二进制自然数体系的步骤是:先用0作为组合码分别与〈0，1〉中的0和1作左右组合并依次排列，第一批次可得到组合排列00、01（0是二进制数体系中的空位号，不表示基序内涵，在左侧添加上空位号并不影响该数的基序内涵，这么添加是为了从整体上呈现自然数的符号组合逻辑）；再用1与〈0，1〉中的0、1分别组合，第二批次可得10、11，把两次的组合排列连贯成一个序列，并得到二进制序列的前四个00，01，10，11，根据组合规律，组合码1组合完毕，轮到其后继数10作组合码，所以11的后继是用组合码10与元序列中的0组合成的100(要把100分解为10和0两部分来理解，其中左侧的”10“是组合码，右侧的那个0是元序列〈0,1〉中的元序列码0）。承接第二批次，第三批次组合可得到100、101，第四批次组合得到110、111，第五批次组合得到1000、1001，第六批次组合得到1010、1011，把第一批次至第六批次的组合依次串连起来得到:00，01，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，不难看出，这个序列就是用〈0，1〉作元序列，从”00”组合开始，历经六批次共12次组合构造出的二进制自然数的前12个数(它们分别与十进制自然数0~11对应），通过上面序列中的组合码出现的规律可见，组合成二进制前12个数的组合码依次是0，1，10，11，100，101，也不难看出，是这6个组合码与元序列中的0、1重复组合生成了二进制的前12个数(组合规律要求每个组合码都要与元序列中的符号分别组合一次，二进制元序列只有两个符号，所以6个组合码可组合出12个二进制自然数，若是十进制，则组合十次后再换下一个组合码继续组合并排列，见下文）。

综上所述可见，是元序列符号之间的两两组合产生了组合码及其序列，组合码又继续与元序列中的符号组合生成新的序列，如此不断组合与承接排列，并构造出了〈0，1〉二进制数体系。

4.2、以元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉构造十进制自然数体系为例，讲解自然数体系的符号组合规律。

十进制数的元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉，按以上给出自然数符号体系的构造方法原理，先用以上符号作为组合码分别与以上所有符号作左右组合排列，第一批次可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……

十进制自然数序列的组合码是十次一换，元序列码一次一换。十进制自然数组合码出现的规律图示如下:

00 01  …… 08  09(第一批次） ；

10  11  …… 18  19(第二批次） ；

20  21  …… 28  29 ；

30  31  …… 38  39 ；

40  41  …… 48  49 ；

50  51  …… 58  59 ；

60  61  …… 68  69 ；

70  71  …… 78  79 ； 

80  81  …… 88  89 ；

90  91  …… 98  99 ；

100 101 ……  108  109 ；

110 111 ……  118  119

……

220  ……   228 229

  ……

1000  ……  1008 1009

  ……

由上面列出的黑体标记的组合码与元序列码在十进制自然数序列中出现的规律可见，十进制自然数的组合码依次是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……(即阵列竖看出现的打上黑体标记的序列，也即当前数学教科书上说的自然数序列，这个序列也是十进制自然数的组合码序列，用这个序列依次与元序列码0、1、2*、3、4、5、6、7、8、9组合，就可构造出所有十进制自然数个体及序列）。

从自然数的符号组合规律可以看出，任何一个自然数(符号）都是由右侧末位上的一位元序列码和左侧所有数位合在一起的组合码两部分组合而成，譬如自然数”15462”，它是由组合码”1546”和元序列码”2”左右组合而成。由此规律可见，五位数的自然数组合码即左边的四个数，四位数自然数的组合码即左边那三个数，两位数自然数的组合码即左边的那个符号，组合码和右边的元序列码一样，最初都来自元序列。

如何区别组合码和元序列码？二者的区别在于组合轮换的次数不同。构造数序列时，不论多少进制数的序列，元序列码每次组合都要换一次(元序列码按元序列顺序首尾相连循环使用），而组合码则p次组合换一次(p是进制数；p∈+z；p≥2)，譬如构造十进制自然数序列时，组合码十次一换，元序列码一次一换；在构造十六进制数的序列时，组合码则十六次一换，元序列码仍然是一次一换。

4.3、当前通用的”左组合码＋右元序列码”的组合模式并不是必然、唯一的

自然数的组合码和元序列码的位置并不是固定不可变的，当前人类通用的十进制数和二进制数，都是按“左组合码＋右元序列码”模式组合构造的，笔者通过大量的组合实践表明，把组合码与元序列码的位置互换一下（或者说把进位方向反过来），同样可以构造数，即”左组合码码＋右元序列码”这种组合模式也可以构造数。

下面笔者按”左元序列码＋右组合码”模式，用元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉重新构造十进制数及其序列(笔者在每个数的后面标上通用的十进制数，以作对比区别）：

00(0），10(1），20(2），30(3），40(4），50(5），60(6），70(7），80(8），90(9），01(10），11(11），21(12），31(13），41(14），51(15），61(16），71(17），81(18），91(19），02(20），12(21），22(22），……，89(98），99(99），001(100），101，201，……899(998），999(999），0001(1000），1001(1001），2001(1002），……

通过上面列出的序列对比可见，新组合模式和原”左元序列码＋右组合码”模式构造出的十进制数，整体的区别在于”左右颠倒”，原本8，9的后继组合是左1右0的组合”10”，按笔者提出的新组合模式，8，9的后继就成了左0右1的组合”01”。

用”左元序列码＋右组合码”模式构造出的十进制数，两两之间的基序关系当然也得随之变化。新组合模式的十进制数的加乘演绎式选列如下：

加法演绎式(部分）

0＋10=10；0＋20=20；……；0＋90=90；

10＋20=30；……10＋90=01

20＋30=50；……20＋90=11

30＋40=70；……30＋90=21

……

90＋90=81

以30＋90=21为例讲解”左元序列码+右组合码”模式的自然数加法过程，先从左边加，3＋9=21，过程可表述为：”本位写2再向右高阶上进1，右高阶上原来位值是空位号0，进1后位值变成1，故30＋90=21”。见下竖式图(0右上方的角标“¹”是对进一的示意）。

说明：以上列出的加法演绎式，并不是通过对原有自然数及其演绎式的机械颠倒得来的(并不是通过把原自然数的0~9加法口诀表作颠倒得来的），这些演绎式是通过元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中各符号所在的空间位置关系推导出的，这些演绎式的得来与原来的自然数基序及关系无关。解释如下：

——自然数的加乘演绎式都是通过”形相物的空间关系”推导出的，这里可以把元序列〈0、1、2、3、4、5、6、7、8、9〉中的十个数符号与排成一排的十棵树或者十根手指头相互映射，可以把这十个符号视为是对这些树所在空间位置的标记或指代，先把0位置的那棵树”拔掉”作空位处理〔6〕(用实物构造元序列时，需要额外添加一个打头的空位号，若打算构造一套十进制数体系，则只需要9个实物，详见《自然数的符号学原理》4.3章节、第五章节），0位置那棵树拔掉后的空地用空位号”0”补充，这样，元序列中的第二个符号“1”则指代黑树”0₁”(树的位置用替代，由于简书不能输入颜色，故用下角标号对十种颜色作标记，这里的下角标号1～9仅表示9种不同的颜色，与自然数序列中的1～9的位置以及大小关系无关，读者应把这些下角标号想象成9种颜色的指代、标示），第三个符号“2”则指代红树”0，₁，₂”，第四个符号”3”指代蓝树”0，₁，₂，₃”，…第十个符号”9“指代草绿色树”0，₁，₂，₃，₄，₅，₆，₇，₈，₉”，这样，我们就可以根据1~9九棵树与空位号0处的位置关系，推导出它们各自所在的基、序位，再根据符号基、序位置的统一性(序数可指代基数），推导出这些树指代的基数以及它们两两之间的基数关系。笔者提出的”左元序列码＋右组合码”组合模式，只是把8，9之后的组合”10”变成”01”，区别仅在于符号组合模式的不同，它们的基序内涵都是从元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉的位置关系各自独立推导得出的。

乘法演绎式(部分）

根据以上建构出的加法演绎式和乘法的意涵(m×n表示n个m相加），运用累数法可一次性地建构出新组合数的元序列符号(数）两两之间的乘法演绎式(即0~9十个数之间的乘法口诀表）。

0乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任何其数，积都=0，略；

1乘以任何数的积都是那个数，略；

2×2=4，2×3=6……2×5=01；2×9=81；

3×4=21；……；3×9=72；

4×4=61；4×5=02，……，4×9=63；

5×5=52；……，5×9=54；

6×6=63；……，6×9=45；

7×7=94；7×8=65；7×9=36；

8×8=46；8×9=27；

9×9=18

运用以上的新数加乘演绎式作四则运算演绎：

例一、51×3=54

该乘法过程讲解：自左向右逐个相乘，先算3×5，根据乘法演绎式可知3×5=51，在本位写5再向左上阶进1(高阶在左！），再根据乘法演绎式1×3=3，加上右低阶上进的1，可算出右高阶上的位值是4，于是得出51×3=54。

例二、9÷52=63.0，竖式如下：

该除法过程讲解：9是一位数，显然没有52大，需要在9的左侧补上0，用09除52，上3合适，因为52×3=57，52×4=001，所以只能上3，09-57=51(0向右高阶借1当十，减5剩5，右上阶的9被借去1后是8，8-7=1）；51比52小，不够除，再在左边添加上0，用051除52，上6正好除尽(52×6=051）。

验算：63.0×52=9

验算过程讲解：第一次乘；6×5=03，本位写0向右高位进3，3×5=51，加上进的3，得81(51＋3=81，3与5同阶对位），这样，第一次得乘积081。第二次乘；6×2=21，本位写2向右阶进1，2×3=6，加上进的1得7，第二次得乘积27，把两次的乘积对位相加：081＋27=009(2与8同阶对位），再去掉63.0这个数上的两个小数点位，得63.0×52=9，验算显示，用新组合法构造的数及其加乘演绎式，乘、除逆运算都能得出自洽、统一的结果(用原自然数检验：9÷25=0.36），说明用新组合法构造的自然数和原自然数加乘演绎式具有相同的运算功能，说明用新组合法构造的自然数和原组合法构造的自然数，具有相同的数学性质和逻辑完备性，

<五>、本文数学意义解读

笔者首先要强调一点：本文耗费大量篇幅讲解用”左元序列码＋右组合码”模式构造自然数体系的可行性，目的并不是要革新现有的十进制自然数体系及其组合模式，而是在论证自然数体系的符号性、人造性，是在解构自然数体系的构造性原理。

本文的思想意义集中体现在以下几个方面：

5.1、本文明确给出了自然数的符号组合规律，为构造高进制数及其计算机提供了积极的方法论工具和信息技术理论基础

从数字的信息技术角度看，掌握了自然数体系的符号组合规律，才能熟练、正确地构造各种符号、各种进制数的数体系(正确的组合方法，是不同进制数之间能够实现准确换算的保障），为未来构造高进制数体系以及制造高进制计算机打造理论基础。

5.2、本文提出的”元序列＋元序列符号的无限次组合延伸”的自然数构造论，从认识论角度打通了自然数体系从有限基数体系演变为无限基数体系的逻辑路径

基于元序列符号的空间位置(这里的符号应作实物符号理解，见4.3章节说明二部分），就可推导出每个符号所在的基序位，推导出每个符号指代的基数，而承接在元序列之后的，用元序列符号组合”虚构的基序”(这里的元序列符号则指图样、字符等书面符号，相对于自然界中的实物的基序来说，用字符在纸张平面上的左右组合表示的基序相当于”虚构的基序”），则能从逻辑上无限延伸元序列的基序(理论上元序列符号可以按固定的组合规律在一维空间中无限组合排列下去），从而让自然数体系从有限数体系升级为可涵盖所有有限数的无限数体系，满足了数的运算需要。

附加阐述：本理论对目前数学界用集合概念定义自然数及其体系的方法是批判的，显然，只有把元素符号化，才能进一步通过符号组合无限次的”虚构基序”，才能构造出无限的自然数体系，才能解释数体系是如何从有限演变为无限的。而元素和集合概念并不能解释自然数体系的符号组合之妙，当然也不能解释自然数体系是如何从有限基数体系演变为无限基数体系的。

5.3、本文提出的”元序列＋元序列符号的无限次组合延伸”自然数体系构造论，从原理上解释了为什么罗马数、巴比伦数等众多古数不能发展为合格数体系的原因

上文(5.2）对自然数体系从有限基数向无限数升级的认识论分析表明，用纯符号组合”虚构基序”的方法才能让自然数体系从有限走向无限，这就对造数的理念和数符号的视觉型态提出了要求，不仅要求每个构造数体系的元序列符号结构要简单紧凑(不容易被增减笔画)，要求元序列中符号相互之间有较高的视觉区别性(不易混淆），还要求构造者要摒弃人类历史上绝大多数古数采用的”基数图示法”造数理念（”基数图示法”是笔者对用等量元素、笔画直观构造数的方法的描述，详见下文），因为一旦在数符号中直观呈现了数的基数信息，要么会面临某个基数大到无法在一维空间上排列因而无法继续造数的局面，出现学生写”万”字画万笔的困境〔7〕，要么就得被迫中断基数图示法造数逻辑，改用符号意义约定法继续造数，这样就会破坏整个数体系的逻辑同一性，导致该数体系无法执行进制逻辑，进而失去算术功能。

以我国”甲骨文数字～南宋算筹数”期间的古数和罗马数为例，我国古数和罗马数的1、2、3分别写为一、二、三和|、||、|||，显见的，这些古数符号中都直观地图示了1、2、3三个自然数所表示的基数。显然，按这样的造数逻辑，稍大点的数就无法书写排列了，所以罗马数到4时，就中断了一开始的基数图示法造数逻辑(罗马数把4写成”Ⅳ”，与前继”|||”失去了构造上的逻辑联系。见图7），而我国甲骨文～南宋古数前四个一、二、三、”sì”（四横打不出，见图4、图5、图6），都是执行基数图示法造数原则的，到了第五个数中断了，所以我国古数和罗马数都不能执行进制逻辑，都没有完备的算术功能，只能作为一套简单的记数用数(只能记录简单基数或标记简单序数）。不难想象，按基数图示法构造的数不仅会局限于大数的图示，也会局限于数的有限性，这样的数体系必然不能满足数的运算对于数的无限性的要求，这样的数显然发展不出有理数、无理数，也不会产生数学这门课。

（图2，部分上古数及出现的时间顺序表）

（图3，我国河图、洛书古数）

（图4，甲骨文数字）

（图5，我国春秋算筹数码）

（图6，我国南宋算筹数码）

（图7，罗马数）

（图8，巴比伦数字）

（图9，古埃及象形数）

（图10，印度古数）

5.4、为什么印度数能够发展成世界通用数体系？

我们知道，数体系有记数和算术两方面功能，对比以上世界上不同历史时期出现的古数不难发现，除了印度古数外，包括我国不同历史时期古数在内的所有国家的古数体系都没有设置空位号（图6我国南宋算筹数有空位号，但可惜基数被图示了，这样的数体系也不能执行进制法则，有空位号也无法发挥算术功能），且数符号的型态也不符合进制数的进制要求（要刻画的基数信息被图示化了、所以数字之间存在包含现象，譬如我国古数”三”和罗马数字”|||”，数中都包含前两个数字的笔画），所以这些古数不仅都有大基数局限，也无法执行进制数的进制逻辑，这些古数体系只具有记数功能，并不具有完备的算术功能。从图10上看（图9中给出的符号及其排列组合啥时候出现的笔者无法确认，只能以这张图评析印度古数），印度古数不仅有空位号设置，且数符号的形态也符合进制要求，组合方法也是正确的（通过10和150这两个数的组合可见），所以印度数字才得以发展成为当今人类通用的十进制数体系。

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参考文献：

1、百度，“自然数”；

2、黄燕，李祎. ”0真的应该成为自然数吗”，〔J〕数学通报.2015年第2期；

3、陈定学.”自然数的符号学原理”4.1.章节.〔N〕

4、陈定学，”自然数的符号学原理”.4.1.1章节.N

6、陈定学，”自然数的符号学原理”第五章·；〔N〕

7、韩雪涛.”数的故事”.第21页，〔M〕.湖南科学出版社，2014年1月出版；